Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
непропусканию, можно следующим образом: если при Imw -" -оо знак Imfc
изменяется, то имеет место усиление, если же знак не меняется, то -
непропускание.
Иными словами, в системе будет усиление, если она чувствительна к спаду
сигнала во времени, и непропускание, если система не чувствует этого
спада (волна просто не проникает в среду, как, например, в случае
бесстолкновительной плазмы, когда кс = - w2 при w < wp);
физически данный критерий связан с принципом причинности. Если
предположить, что система возбуждается источником, сигнал которого
меняется во времени по закону ехр(г RewT) ехр(- ImwT) и Imw -" -сю, то
все волны должны затухать с удалением от источника из-за конечной
скорости распространения возмущения. Следовательно, когда волна
усиливается при действительных w, то знак Imfc должен измениться при Imw
-" -сю, т.е. при нарастании во времени волна должна затухать в том
направлении, в каком усиливалась при Imw = 0.
Заканчивая эту главу, приведем еще два примера распределенных усилителей.
Один из них (см. [25]) - это акустический усилитель, созданный Ч. Беллом.
В этом усилителе тонкая струя воды направлялась на маленькую резиновую
диафрагму, связанную с индикатором звука - рупором. Волны,
распространяющиеся в потоке воды, вызывали колебания в диафрагме,
преобразуемые в звуковые на выходе из рупора. Существование растущих с
координатой волн доказывалось следующим образом. Около сопла, из которого
вырывалась струя воды, размещался камертон или музыкальный ящик (см.
[25]), которые на современном языке следует назвать входным устройством.
Тогда на выходе из рупора снимался усиленный звуковой сигнал, достаточный
для того, чтобы его было слышно в лекционном зале.
174
Глава 7
В работе [25] предложена простая теория усилителя, близкая по форме
построения к теории неустойчивости Гельмгольца. Суть ее в следующем.
Рассматривается односкоростной цилиндрический ламинарный поток
несжимаемой жидкости с плотностью ро, который описывается
гидродинамическими уравнениями Эйлера для радиальной (vr) и продольной
(vz) компонент скорости. Возмущениями по азимутальной координате ip
пренебрегают. В предположении, что под действием начального возмущения
возникающие переменные величины изменяются по закону exp(iuit - ikz), где
и) - действительная величина, линеаризованные уравнения движения имеют
вид
(v-kv o)v'z = ^, (7.55)
(и-kv = (7-56)
где v0 - постоянная скорость жидкости в z-направлении. Из условия
несжимаемости жидкости divv' = 0 и уравнений (7.55) и (7.56) получается
дифференциальное уравнение для р', которое имеет решение
р' - AI0{kr) exp(iujt - ikz), (7-57)
где А - постоянная, 1о(кг) - модифицированная функция Бесселя первого
рода нулевого порядка. Под действием возмущений граница жидкости
искривляется, что, как показано в [25], приводит к следующему выражению
для переменного давления на границе:
р> _ s(k2 l)r,_ [S/(por2)}(k2r2 - 1) др'
P~Syk Л- (ш-kv о)2 Зг' (7-58)
где S - поверхностное натяжение, ц' = i{u> - kvo)r'. Используя (7.57) и
(7.58), приходим к дисперсионному уравнению
(co-kvo)2 = ~^(к2т2-l)kJ-^\. (7.59)
Рог2 1о{кг)
Если считать, что к = u/vq + 6 (|<5| <С u/v()), и в правой части (7.59)
заменить к на ш/vq, то
7.5. Усиление и непропускание. Критерии разделения
175
Вид функции F(u>r/vo) показан на рис. 7.12. Для нарастающей волны
максимальный коэффициент усиления (в децибелах на единицу длины)
Следуя [25], оценим величину <7тах, полагая, что диаметр потока равен
0,1см, а частота, соответствующая условию шг/vq = 1 (рис. 7.12), равна
5000Гц. Из этих данных находим, что скорость потока должна быть равна
1570см/с (это равносильно напору 1260см вод. ст.). Тогда, используя
график рис. 7.12, для частоты около 3500 Гц получаем Стах " 1,43 дБ/см (S
" 73дин/см, р0 " 1г/см3).
Рис. 7.12. График функции F(wr/vо). Для низких частот эта функция (а
значит, и максимальный коэффициент усиления на единицу длины)
пропорциональна частоте, достигает максимума при шг/vо = 0, 7 и
обращается в нуль на частоте /max = vo/2nг [25].
В электронике подобная неустойчивость характерна для трубчатых пучков в
продольном магнитном поле; последнее компенсирует ку-лоновы силы
расталкивания в объемном заряде [26].
На рис. 7.13 приведены фотографии из работы [26]. иллюстрирующие эволюцию
этой неустойчивости в пространстве дрейфа. Неустойчивость полых пучков
близка к неустойчивости тонких заряженных слоев в скрещенных электро- и
магнитостатических полях, для которых возможно простое качественное
объяснение неустойчивости [7]. Действительно, если в задаче с трубчатым
пучком перейти в систему координат, движущуюся вдоль магнитного поля со
статической скоростью электронного потока, то движение электронов будет
таким же, как и в пучке в скрещенных полях - перпендикулярным и
электрическому, и магнитному полям. Интересно, что для электронных
потоков в скрещенных полях с произвольным распределением плотности по
сечению справедлив ряд известных гидродинамических теорем об устойчивости
