Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
(7.61)
F\
3
2
О 0.2 0.6 cor/ v0
176
Глава 7
D -.0 _ Bl
ооок
в
а)
б)
Рис. 7.13. Эволюция неустойчивости дрейфующего цилиндрического
электронного потока в продольном магнитном поле; на фотографиях из работы
[26] показано сечение пучка при перемещении экрана вдоль пространства
дрейфа; увеличение номера кадра соответствует увеличению длины дрейфа
(а); иллюстрация фотографий на примере тонкого ленточного слоя в
скрещенных полях; локальное увеличение плотности заряда приводит к изгибу
слоя, он становится неустойчивым, и начальное возмущение растет (б) [7,
гл. 5]
различных плоскопараллельных течений (в частности, существует аналог
теоремы Рэлея о необходимости для неустойчивости электронного потока
точки перегиба в профиле скорости).
Глава 8
Скорость распространения волн
8.1. О различных способах введения понятия групповой скорости
Мы уже пользовались хорошо известными из курса общей физики понятиями
фазовой и групповой скоростей волн. В простых ситуациях каких-либо
дополнительных разъяснений здесь не требуется. Однако в тех случаях,
когда среда активна и содержит переменные параметры, вопрос о скоростях
распространения волн требует дополнительного обсуждения [1-4].
Если изменение некоторой функции, характеризующей волновой процесс, можно
представить в виде и(х, t) = Mo Re{exp[i(wt - кх)]}. где uq = const, то
такая монохроматическая волна распространяется со скоростью
Ч = f • (8-1)
Это - фазовая скорость волны, которая определяет скорость отдельного
гребня, впадины или узла волны и(х, t). Если ввести фазу <р = = иЛ - кх.
линейную по независимым переменным, то р = const для наблюдателя,
движущегося со скоростью Пф. Действительно. dip/dt = dip/dt + (dx/dt)
dip/dx = 0, когда dx/dt - цф, поскольку по определению dp/dt = ш, a
dip/dx = -к. Однако передать сигнал с помощью монохроматической волны,
очевидно, нельзя из-за ее однородности в пространстве и во времени (она
должна существовать во все времена t от -оо до +ос и на всей оси х от -оо
до +оо). Таких волн в природе, конечно, нет: у всякого волнового процесса
есть начало и конец, т. е. реальный сигнал всегда имеет конечную ширину
спектра частот и распространяется в общем случае со скоростью, не равной
цф. Пусть теперь мы каким-то образом изменяем амплитуду или фазу волны,
чтобы можно было передать информацию. Рассмотрим для определенности
задачу с такими начальными условиями: в начальный момент времени t = 0
волна задана пространственным распределением
178
Глава 8
и = Re {/(ж) * ехр(-г&ож)}, причем f(x) изменяется медленно по сравнению
с ехр(-ikox). Можно ожидать, что волна будет распространяться как волна с
постоянной амплитудой и = Re{f(x) exp(iu0t - ikox)}, т. e. со скоростью v
= и>о/ко (ср. (8.1)). Однако в средах с дисперсией это не так.
Действительно, представим f(x) в виде интеграла Фурье
ОО ОО
f(x) ~ J g(k)e~lkx dk, где g(k) ~ J f(x)elkxdx.
- ОО -ОО
Тогда
ОО ОО
"(яг, 0) ~ e~ik°x J g(k)e~ikx dk ~ J g(k)e~i{k+k^x dk.
- oo -oo
Заметим, что наш интеграл - это непрерывный набор волн постоянной
амплитуды, существующих на всей оси х от -ос до +ос. Тогда для группы
волн (волнового пакета)
ОО
и{х, i) ~ J g{k)eiut~i{ka+k)x dk. (8.2)
- ОО
В диспергирующей среде и> = ш(к). Медленность изменения f(x) по сравнению
с ехр(-гкох) означает, что g{k) отлично от нуля только
для к <С ко, поэтому функцию ш(к) можно разложить в ряд и огра-
ничиться двумя членами разложения:
ш = и>о + (8-3)
Подставляя (8.3) в (8.2), получаем
ОО
или
и(х, t) = /
\дк)о J
Если рассматривать f[x - (дш/дк)0i] как изменяющуюся амплитуду волны,
фазовая скорость которой г>ф = и>о/ко, то изменение амплитуды
8.1. О различных способах введения понятия групповой скорости 179
распространяется с групповой скоростью1
k-k о
(8.4)
Учтем в разложении функции ш{к) в ряд еще одно слагаемое по сравнению с
(8.3):
Чтобы можно было пренебречь в показателе экспоненты в (8.2)
дополнительной фазой (d2u)/dk2)0(k2t/2). должно выполняться неравенство
[(d2uj/dk2)(k2t/2)] 1, которое можно переписать в виде
Здесь введено расстояние Д = vrpt. на которое сместилась "амплитуда" за
время t, и использовано равенство к = 2тт/\, где Л - длина волны.
Расстояние Д - это тот характерный масштаб, на котором справед-
групповая скорость есть характеристика движения волнового пакета в
диспергирующей среде, если пакет еще сохраняет свою форму и размеры, т.
е. на расстояниях порядка Д. В некотором смысле пакет в этом случае
подобен частице в классической механике, а групповая скорость всего
пакета подобна скорости частицы.
Рассмотрим еще один способ введения понятия групповой скорости, для чего
проанализируем распространение сигнала с дискретным спектром частот (рис.
8.1 а)
Представим такую суперпозицию монохроматических волн с частота-
МИ UJQj U) 1, U^2 1 • ¦ • В ВИД(c)
ливо наше рассмотрение; он тем больше, чем меньше
и = Re {ыое
и = Re{Feiuot-ikox} .
(8.5)
где
F = U0+ UieH"i-"°)t-i{k1-ko)x + U2ei(u2-u0)t-i{k2-k0)x + _ _
