Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 796

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 790 791 792 793 794 795 < 796 > 797 798 799 800 801 802 .. 942 >> Следующая

системе реализуется распределенная обратная связь - малые волновые
возмущения, распространяющиеся со скоростью urp, бегут навстречу потоку и
тем самым связывают выход системы с ее входом. При этом возможно либо
усиление (регенеративное), либо самовозбуждение лампы. В электронике ЛОВ
используется, главным образом, для генерации монохроматических колебаний
СВЧ-диапазона (схематическое изображение ЛОВ приведено на рис. 23.6 [10,
11]).
Легко показать, что дисперсионное уравнение системы электронный пучок -
обратная электромагнитная волна имеет вид
(и - куф)(со - v0k - шд)(ш - v0k + шд) = -и;3С3, (7.29)
т. е. отличается от уравнения (7.27) только знаком в правой части. Если
речь идет о самовозбуждении системы, то неизвестны ни и>, ни к. Каково
условие неустойчивости? Поскольку нас интересует генерация, то следует
интересоваться неустойчивостью во времени. Тогда возникает вопрос: какой
смысл в данном случае имеют комплексные значения к? Обычно ответы на эти
вопросы находятся совместным решением уравнений типа (7.17) (для ЛОВ в
этом уравнении нужно изменить знак в правой части) и (7.26) при начальных
или граничных условиях, соответствующих физике задачи.
Так, из уравнения (7.27) следует, что поле Е и сгруппированный ток i'
можно описать тремя волнами:
з з
E = YsEd 0)e~ik*x, т = ^\;'( 0)e~ikiX. (7.30)
г=1 г = 1
Неизвестные амплитуды Е{(0) и г?(0) определяются для ЛБВ из начальных
условий (х = 0)
?я,-(0)=Я(0). ?;'(0) = 0, ]Г^М=0, (7.31)
г'= 1 г= 1 г-1
где ?(0) - амплитуда входного сигнала, второе условие означает,
что
пучок не сгруппирован на входе, а третье условие - что пучок на
вхо-
де не модулирован по скорости. Тогда можно найти распределение поля вдоль
длины пространства взаимодействия. Из решения следует, что на достаточно
большой длине доминирует волна с Im к > 0, которая и определяет
коэффициент усиления ЛБВ. Например, при b = 0 коэффициент
160
Глава 7
усиления равен
G = m~ ехр(^'2пС$ ~ ехр(^' 2"CN^
где А = 2п/ке, N = 1/Х - число длин волн, укладывающихся по пространству
взаимодействия.
В случае ЛОВ генератора для определения условий возникновения колебаний
(Imo; = 0) следует решать краевую задачу, полагая г'(0) = di'(fi)/dx = 0
и Е{1) = 0 (входной сигнал отсутствует). Тогда получаются следующие
значения пусковых параметров, при которых возникают колебания: &п =
1,552, (CN)n = 0,314. При значении vo, мало отличающемся от Иф, и С -Cl
решения (7.29) можно искать в виде к = (ш/уо)( 1 + iCS), что приводит к
уравнению 52(5 + ib) = -г. При Ъ = Ъп корни этого уравнения Si = 0, 725 +
г-О.151, 62 = -0, 725 + г-О,151, 53 = - г ¦ 1,822 [11]. Очевидно, что
волна с Imfci > 0 не играет той роли, какую она играла в ЛБВ, а поле
определяется суперпозицией всех трех волн, поскольку иначе не выполнить
граничного условия Е{1) = 0. При подобном подходе, однако, возникают
очевидные трудности, связанные с необходимостью решения краевой задачи. В
то же время было бы желательно не решать задачу с начальными и тем более
краевыми условиями, а ограничиться рассмотрением лишь безграничных
систем, т. е. анализом дисперсионного уравнения, и с его помощью отвечать
на все вопросы об устойчивости.
7.3. Абсолютная и конвективная неустойчивости. Метод характеристик
Определить характер поведения произвольного возмущения (сносится ли
возмущение в каком-то направлении по х либо расширяется, захватывая новые
области в +х- и -ж-направлениях), не анализируя конкретных решений типа
(7.1), а используя лишь дисперсионное уравнение системы - в общем случае
задача весьма трудная. Однако для широкого класса распределенных систем,
а именно систем, описываемых уравнениями в частных производных
гиперболического типа, это можно сделать сравнительно просто (заметим,
что гиперболическими уравнениями описываются и колебания в системе
связанных маятников (см. рис. 7.2 и 7.3), и невязкий гравитирующий газ, и
многие другие очень важные системы). Для таких систем поставленная задача
решается просто - нужно лишь определить на плоскости xt границы области
7.3. Абсолютная и конвективная неустойчивости
161
и
О)
х, 4 X а)
б)
k
u{x,t)
и(х, 0)
x=const
t
в)
Рис. 7.5. Связь характеристик гиперболических систем (плоскость xt) с
асимптотами соответствующих дисперсионных уравнений (плоскость сок) в
случае абсолютной неустойчивости для двухволновых систем (1, 2 -
характеристики разных семейств; 3 - область распространения возмущения; 4
- область начального возмущения) (а, б)-, рисунки, поясняющие развитие в
системе абсолютной неустойчивости (е)
распространения возмущения (рис. 7.5), совпадающие с характеристиками
системы, которые имеют максимальный и минимальный наклоны. Простейший
пример гиперболического уравнения мы уже хорошо знаем - это обычное
волновое уравнение utt - а~ихх = 0. Здесь два семейства характеристик: х
- at = С i и х + at = С п.- Первое семейство соответствует возмущениям,
распространяющимся вправо, а второе - возмущениям, двигающимся влево.
Предыдущая << 1 .. 790 791 792 793 794 795 < 796 > 797 798 799 800 801 802 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed