Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из (7.41) видно, что ш могут быть комплексными, если k2v% +ш2 <
< шр^Ак2^ + со2, т.е. при условии, когда
\/2со"
к < (7.42)
Из (7.42) следует, что Ар < \/2А (к = 27т/A, top/v0 = 2п/\р),
т.е. не-
устойчивы лишь длинноволновые возмущения. Подчеркнем, что к здесь
действительные. Дисперсионные характеристики, определяемые формулой
(7.41), приведены на рис. 7.8.
Рис. 7.8. Модель двух идентичных встречных пучков и дисперсионные
характеристики, определяемые уравнением (7.41). При со = 0 имеем к =
±\/2cup/vo; если же к = 0, то ю = в случае больших к и малых сир си ~
Azkvo;
заштрихована полоса действительных значений к, при которых имеют место
комплексные значения си
Для понимания рис. 7.8 проследим за цепочкой переходов: один пучок - два
невзаимодействующих пучка - два взаимодействующих
168
Глава 7
пучка (рис. 7.9). Как следует из (7.39) (это известно нам и из гл. 5), в
одном возмущенном электронном потоке существуют две волны
пространственного заряда - медленная и быстрая. Если V02 = - Vo = О, и)Р2
= 0, шР1 = шр, то из (7.39) имеем (а; - kv0)2 = шр, ш = kv0 ± шр, а в
случае Hoi = Vq - 0, шр\ = 0, и>Р2 = шр имеем (и) + kvо)2 = и>р, и! = -
kvo ± шр. Из анализа рис. 7.9в и его сравнения с рис. 7.9 а, б следует,
что ветви 1 дисперсной характеристики взаимодействующих пучков
соответствуют медленным волнам, а ветви 2 - быстрым волнам. Из рис. 7.8
видно, что для быстрых волн неустойчивости быть не может: любым
действительным значениям волнового числа к для них соответствуют
действительные значения частоты ш.
Для медленных волн в области значений волновых чисел |fc| < v~ (на рис.
7.8 эта область выделена штриховкой) частота ш будет комплексной
величиной и при Imo; < 0 возмущения будут нарастать во времени.
Рис. 7.9. Модели двух пучков и дисперсионные характеристики одного
модулированного во входном устройстве пучка (другой отделен от него
экраном А (а, <?)); модель двух взаимодействующих пучков и их
дисперсионные характеристики (в). Штриховыми линиями показаны
дисперсионные характеристики невзаимодействующих потоков
Таким образом, в анализируемой консервативной системе существует
неустойчивость. Это сам по себе замечательный факт. Энергия, необходимая
для поддержания этой неустойчивости, черпается из "неволнового" движения
равномерно движущихся потоков. И если в с л у-
7.4. Волны в потоках. Электронные потоки
169
чае попутных пучков мы проводили аналогию с ЛБВ, то здесь уместна
аналогия с ЛОВ. Действительно, в системе имеется обратная связь,
поскольку один из пучков направлен навстречу другому. Если в схеме рис.
7.9 б удалить экран, то верхний пучок можно рассматривать как
"электронную замедляющую систему" с обратной волной (энергия переносится
со скоростью - Vo). Возникшая в такой линии передачи медленная волна
будет взаимодействовать с электронным потоком, движущимся со скоростью
vo- При определенных значениях тока пучков система будет самовозбуждаться
и входное устройство не нужно. Причиной возникновения колебаний являются
флуктуации птотности объемного заряда в пучке. Исследуем теперь
одинаковые попутные пучки, т.е. случай, когда р01 = р02 = р0, (шр1 = и)р2
= шр), v01v02 > 0. При этих условиях из (7.40) получаем
Дисперсионная характеристика этой системы изображена на рис. 7.10 в.
Качественный вид ее ветвей легко получить, переходя от случая
невзаимодействующих пучков, один из которых неподвижен (го2 = 0, Vox >
0), к случаю их взаимодействия, а затем и к случаю взаимодействия
попутных пучков, когда Voi > 0, i>02 > 0. Дисперсионное уравнение (7.43)
по-прежнему имеет четыре корня, и каждое возмущение будет содержать
четыре слагаемых, например
v'i,2 = Л Фу 2m exp(iu)mt - ikmx). Два из них (ветви 1 дисперсионной
характеристики на рис. 7.10 в) не нарастают во времени, а два других
(ветви 2) могут нарастать, поскольку действительным к в заштрихованной
области соответствуют комплексные значения ш. Но неустойчивость здесь
другого типа, чем в задаче о встречных пучках. Поскольку пучки движутся в
одну сторону, возмущение будет сноситься вместе с пучком, т.е. в данной
точке пространства возмущение может затухать.
Разрешим уравнение (7.43) относительно к = к(ш), полагая и>
действительной величиной. Вводя величины [7] полуразности скоростей S =
(г?01 - "1^02)/2. средней скорости пср = (i>oi + "^02 )/2 и волнового
числа к = u>/vcp + *7- можно переписать (7.43) в виде
u>'p\f\u> ~ kvoi) 2 + (ш - kv02) 2] - 1.
(7.43)
4
¦ 7^01 , шд
г~, Ь ъ 77
Шр VCp Up
-2
= 1. (7.44)
Если S мало по сравнению с v01 и V02, то можно считать, что
170
Глава 7
а) б) в)
Рис. 7.10. Дисперсионные характеристики двух невзаимодействующих (а) и
взаимодействующих (б) электронных пучков, один из которых неподвижен (vo2
= 0), и двух взаимодействующих попутных пучков (в); заштрихована область
действительных значений к, при которых имеют место комплексные значения ш
1V0i/u>p и jvq2/wp к ¦jVcp/iOp. Тогда из (7.44) находим
Из анализа (7.44) следует, что максимальное значение инкремента
