Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 803

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 797 798 799 800 801 802 < 803 > 804 805 806 807 808 809 .. 942 >> Следующая

180
Глава 8
Рис. 8.1. Узкий дискретный спектр - все составляющие близки к wo (а);
пакеты волн, ограниченные огибающей модуляции (2), которая переносит в
отличие от высокочастотного заполнения (1) всю информацию о сигнале (б) и
пример непрерывного спектра сигнала (в)
Функция F(x, t) называется комплексной огибающей высокочастотного сигнала
в пространстве и во времени [2]. Смысл этого названия легко понять, если
ввести F = Аехр(г<р). Тогда из (8.5) имеем ква-зигармоническую волну и =
j4cos(w0i - кох + (р) (А - огибающая, ojot - кох- высокочастотная фаза,
(р - медленно изменяющаяся фаза). Если спектр сигнала узкий (все
спектральные составляющие сосредоточены около о;0); то все разности типа
w" - wo и кп - ко (n = 1, 2, ...) малы. Следовательно, в (8.5) функция F
изменяется медленно по сравнению с exp(i<x0t - ik0x). Экспоненциальный
множитель соответствует распространению монохроматической волны с
частотой w0, которая называется несущей. Перепишем формулу (8.6) в виде
F = щ + ui exp | - i(ki - k0) + u2 exp < -i(k2 - k0)
(wi - Wo )t h - ко
(w2 - w0)t k2 - ко
+
(8.7)
гг ^1 - ^2 - Ш0
Для узкого спектра можно положить ^ = --- = ... =
ki - ко к 2 - ко
= - = цгр (равенства выполняются тем точнее, чем уже спектр), и,
следовательно,
F - и0 + ui exp[-i(fci - к0){х - rrpi)] +
+ и2 ехр[-г'(&2 - к0)(х - vrp?)] + • • • = F(x - vTpt).
(8.8)
Сказанное выше позволяет определить групповую скорость как скорость
распространения огибающей сигнала (рис. 8.16). Если в дисперси-
1Первый понятие скорости распространения группы волн ввел в физику
Гамильтон (см. [9]).
8.1. О различных способах введения понятия групповой скорости 181
онном уравнении связь между ш и к линейная и однородная, то dw/dk = = ш/к
= нгр = !)ф и волновой пакет распространяется так же, как отдельная
монохроматическая волна, - это отличительный признак среды без дисперсии.
Для сигнала с непрерывным спектром, занимающим узкий интервал около
некоторой фиксированной частоты и> = и>о (рис. 8.1в), соотношение (8.8)
остается в силе [2]. Конечно, и при таком подходе понятие групповой
скорости по-прежнему справедливо, пока пакет не исказился, т. е. для
сравнительно малых промежутков времени и для сигналов с узким
спектральным диапазоном.
Введем понятие групповой скорости теперь из более общих соображений для
волны, которая квазигармонически плавно модулирована и по амплитуде, и по
частоте, т. е. имеет вид и(х, ?) ехр[гФ(д:, ?)], где Ф - быстро
осциллирующая фаза (помимо узкого пакета можно рассмотреть широкий fc-
пакет, для которого изменения к имеют порядок самого к). Мгновенные
частоты и волновое число определяются производными фазы по формулам
и, очевидно, удовлетворяют уравнению
Если разложить Ф в ряд около какой-либо точки (жо, to), то о; и к
совпадут с локальными частотой и волновым числом в традиционном
определении, когда характерный масштаб изменений и> а к велик по
сравнению с I/ш и 1/к. Предположим, что на пространственных интервалах,
много больших периода модуляции, но меньших характерного масштаба ее
изменений, локальная частота близка к частоте синусоидальной волны с
данным "локальным" значением к. Тогда ш и к связаны дисперсионным
уравнением и> = ш(к). Используя его в (8.10), получаем
где цгр(к) = дш/дк. Таким образом, можно дать еще одно важное для
понимания кинематики волнового движения определение: групповая скорость
vTp(k) есть скорость распространения возмущений волнового числа к.
Уравнение (8.1) для к является гиперболическим нелинейным уравнением даже
тогда, когда исходная задача линейная. Из этого
(8.9)
(8.11)
182
Глава 8
уравнения следует постоянство к вдоль кривых - характеристик на плоскости
xt, для которых dx/dt = vrp; откуда, в свою очередь, вытекает, что и vTp
= const, т. е. характеристики - это прямые (рис. 8.2), определяемые
уравнением
х - vrpt - const. (8-12)
Ясно, что вместо (8.11) можно пользоваться уравнением
f + = (8.13)
которое также нелинейно; о дисперсии, следовательно, можно говорить как о
"частотной нелинейности". Левая часть (8.13) есть dui/dt, взятая вдоль
линии dx/dt = угр(ш) на плоскости xt, т. е. уравнение (8.13) означает,
что вдоль указанной линии ю = const. Но тогда и vrp(w) = const вдоль
характеристик t - x/vrp(ui) = ((ш), где ? = const для данного ш.
Зависимость ?(w) определяется модуляцией частоты при х = 0; таким
образом, общее решение уравнения (8.13) имеет вид
ш = fl[t - x/vTp(u>)], (8-14)
где П - произвольная функция, обратная Решение (8.14) будет подробно
обсуждаться во второй части книги в связи с теорией простых волн,
поведение которых определяется тем, что каждая точка профиля простой
волны движется со скоростью v(u>) - постоянной, но разной для разных ш.
Поэтому можно представить волну как совокупность независимых групп,
движущихся каждая со своей скоростью. Очевидно, что в зависимости от
модуляции частоты эти группы могут и расходиться, и сближаться, обгоняя
друг друга и вновь расходясь. Если построить характеристики на плоскости
Предыдущая << 1 .. 797 798 799 800 801 802 < 803 > 804 805 806 807 808 809 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed