Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Фі -Фі = V1,
Ф2 -Ф2 = V2> ф3 -ф3 = V3,
-(Фі2з) + (фі + Ф2 +Ф3) = v4>
Фі2 "(Фі + Фг) = v5> ф21 =(ф2 +ф^ = V6,
-ф23 +(ф2 +ф3) = V7, -Ф32+(ФЗ+Ф2) = у8-
Ф4 = -(фі +Ф2 + Ф3)»
(2)
Фз + Ф^в'бЗ'^бЗЗ'^фзр Ф2 + Ф3 = 31,, = ф23, Ф3 + Ф2 = 37" = ф32,
(3)
202
Используя МНК, т.е. отыскивая минимумы суммы квадратов остаточных погрешностей по каждому из неизвестных, получаем систему нормальных уравнений вида
4 • Jp1 + 3 • ф2 + 1 • ф3 = 2944" = 1784", < 3 • (P1 + 6 • ф2 + 3 • ф3 = 28'39" = 1719", 1•Jp1 +3-ф2 +4-ф3 = 4'47" = 287".
Чтобы определить неизвестные в системе (6), определим вначале общий определитель этой системы A = 36, а затем определители соответствующих неизвестных A1 = 12 150", Аф2 = 7146", Аф3 = -5814". Тогда
$! =^- = 337,5" = 5'37,5",
Ф2 = ^tL = 198,5" = 3'18,5" = 3'18,5",
Ф3 =^р- = -161,5" = -241,5", (?)
Ф4 = +Ф2 + Фз) =
= -(337,5 + 195,5 - 161,5) = -374,5" = -6'14,5".
Определим остаточные погрешности как разность между установленными погрешностями измерения углов призмы в процессе их измерения и погрешностями, полученными в результате вычислений по МНК:
Ф1 - (P1 = 335 - 337,5 = v1 = -2,5", Ф2 -Ф2 = 202- 198,5= v2 =3,5", Ф3 - Ф3 = -167 + 161,5 = v3 = -5,5", Ф4-Ф4 =-386+ 374,5= v4 =-11,5",
(фі + Ф2) - (Фі + Ф2) = 530 - 536 = v5 = -6'0"' (8)
(q>2 + Фз) - (Ф2 + Фз) = 31 - 37 = v6 = -6,0", (фз + Ф4) ~ (фз + Ф4) ~ ~533 + 536 = v7 = 3,0", (ф4 + Фі) - (Ф4 + Фі) = "37 + 37 = °-
По формуле (7.6) при числе степеней свободы, равном 5, получим CKO результатов измерения S =7,4".
Примечание. Число степеней свободы равно п-т + к, п — число условных уравнений, равное 8, т — число неизвестных, равное 4, и к — число уравнений связи, равное 1. Таким образом, число степеней свободы будет равно 5.
Для определения СКП искомых параметров по формулам (7.13) вычислим алгебраические дополнения из соотношений
203
л, =
6 з З 4
— 15, "^22 —
4 1 4 1
15; A33 =
4 З З 5
= 15.
Поскольку алгебраические дополнения An= A22 = A33= 15, то СКП для искомых переменных будут одинаковы и равны
^,=^=^=5/15/36 *4,77''.
Так как измерения равноточные, то 5-^=4,77". Таким образом,
(P1 = 5'37,5", ф2 = 3' 18,5", ф3 = -241,5", ф4 = -6'14,5";
фі
ф2
ф3
ф4
4,77".
Пример 7.12. В результате совокупных измерений получены следующие значения емкостей C1 = 0,2071 мкФ, C2 = 0,2056 мкФ, ^ + C2=C3 = (MlIl мкФ, C4= C1C2AC1+ C2) = 0,1035 мкФ, где C3 и C4 — результаты измерений параллельного и последовательного соединения емкостей C1 и C2. Определить оценки емкостей C1 и C2, а также погрешности их измерения.
Решение. Поскольку одна из зависимостей между искомыми значениями емкостей и результатом измерения нелинейна, то запишем первое приближение оценок в виде
С\ = ^10 = ^100 + а> ~ ^"20 = ^200 + P' ^30 = ^100 + ^200 + а + ?> Qo = ^100^200/(^100 + ^20о) + ^с\а + ^с2$>
где C100 и C200 — нулевые приближения к реальным значениям емкостей; аир — малые приращения емкостей, которые необходимо определить; FC{ и F02 — первые производные от нелинейной функции C4 по C1 и C2. Полагая, что погрешность измерений невелика, можно положить C100 = 0,2070 мкФ и C200 = 0,2060 мкФ. Условные линейные уравнения будут иметь вид
А С100 " -ct = 0,
~ ^200 -? = o,
~ (^100 + ^20о) " -(a + ?) = 0,
с4 Woo - fc\a - FC2P = 0,
(3)
204
где
^Cl -
^C4(C100, ^200) 8C1
ас.
"200
V^lOO + ^200 J
-100
^C100 + C200
Тогда с учетом остаточных погрешностей vf. систему нормальных уравнений можно представить в виде
1•0 + 0•P + (C100-C1J = V1, 0-a + l-? + (C200 -C2) = v2, l-a + l-? + (C100+ C200 -C3) = v3,
^сГ а + ^С2 * ?^Qoo" = v4>
(4)
где C400 = Ст/C200 — параллельное соединение емкостей C100 и C200. Подставив в (4) соответствующие значения емкостей, получим следующую систему условных уравнений:
'1-а + 0-? + 0,0001 = v1, 0-а + l-? + 0,0004 = v2, 1-а+ 1-?+ 0,0019 = v3, 0,249 • а + 0,251 • ? + 0,00025 = v4.
(5)
Возведя в квадрат правые и левые части уравнений (5) и сложив их, получим
[1 • a + 0,0001]2 + [1 • ? + 0,0004]2 + [1 • а + 1 • ? + 0,019]2 + [0,249 • а + 0,251 • ? - 0,00025]2 = ? v2.
(6)
Для определения наилучших значений первых приближений вычислим первые производные по а и ? и, приравняв их нулю, получим следующую систему нормальных уравнений:
\2,062 а + 1,0625 ? = -0,001738, [1,0625 а + 2,063 ? = -0,002237. (7)
Для определения искомых значений вычислим определители
205
D
2,062 1,0625 1,0625 2,063
Dn =
= 3,125: D_
-0,001738 1,0625 -0,002237 2,063
= -0,00122;
2,062 -0,001738 1,0625 -0,002237
-0,00275,
(8)
откуда
D A,
a = -?- = -0,00039, ? = -± = -0,00088. (9)
Следовательно, из (1) получим первые приближения для искомых емкостей
C10 = 0,2070 - 0,00039 = 0,20661, C20 = 0,2060 - 0,00088 = 0,2051.
Полученные значения a и ? уточняют принятые значения емкостей на 0,2% (C10) и 0,4% (C20). Дальнейшее уточнение нецелесообразно.
Остаточные пофешности условных уравнений найдем, подставив найденные оценки в (4):
V1 = C1 - C10 = 0,00049, v2 = C2 - C20 = 0,00058,
V3 = C3 - C30 = -0,00063, v4 = C4 - C40 = 0,00048.
Дисперсию погрешность измерения определим из (7.6)
