Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
±[Уі - F(S9 Ь, *,)] = І V2 -> min. (7.24)
1=1 1=1
Приравняв нулю первые производные по параметрам а и Ъ, получим нелинейные относительно а и b нормальные уравнения
. OF(Oj1 X1) п BF(Sj, X1)
За ~Jf(°> >' *') Ba '
. BF(a, Ъ, X1) п BF(S, Ь,х{) (7.25)
У у,—-—--- =У Fla, b, хЛ—-—~---.
м дЪ я 1 дЪ
Представляя, как и ранее, искомые параметры в виде а = а0 + а, b=b0 + p>, где я0, Ь0 — нулевые приближения параметров; ос, ? — малые приращения параметров, осуществляют линеаризацию нормальных уравнений (7.25). Для этого представляют функцию (7.20) в виде (7.21), первые производные вычисляют при а= я0, b = b0:
192
dF(a,b,Xi) dF(a0,b0,Xi) 8F0i
да да da
OF(S9 b9 X1) dF(a09bQ9Xi) 8F0
Oi
db db db
Можно показать, что после соответствующих преобразований и отбрасывания произведений малых величин второго порядка малости получим систему нормальных уравнений относительно параметров а и ? в виде (7.23).
Поскольку а0 и Ь0 — неслучайные величины, то дисперсии
SHa) = SHa)9 SHb) = SHV-
Пример 7.8. В качестве иллюстрации рассмотрим, применение MHK для зависимости между двумя величина х и у в виде у = U + I)2X. Экспериментальные данные этой зависимости, полученные при точном задании переменной х, приведены в столбцах 2 и 3 таблицы на с. 194. Определить оценки параметров а и Ъ и оценки их СКО.
Решение. 1. Поскольку уравнение F(a9 b9x) нелинейно относительно одного из искомых параметров, то представим это уравнение в линейном виде в окрестности некоторой точки а0и Ь0:
у*(а0+ Ь]х) + dF(a^b»K + а/КЛ)р = joq + ^x) + а + 2ь0х&.
Тогда условное уравнение будет иметь вид
>>,.*(я0 + P0X1) + а + 2Ь0$хг
В соответствии с (7.22) составим сумму уравнений с остаточными погрешностями
ІІУ, "К + °c-260?*,.]2 = Sv,2.
/=1l J Ы
Используя первые производные по искомым параметрам (а, ?) и производя необходимые сокращения и преобразования, получаем систему нормальных уравнений (см. (7.23)):
an + 2??>0]T*/=Е>-^y0n
2а*05>,. + W2Z*? = Ib0[Zx^ - 5>,yw],
где y0i= а0 + O2X1 — суммы по п измерениям.
Эта система уравнений в операторной форме будет иметь вид
7 Основы метрологии
AT,*! 42Sx,2
І2*о(І>Л-Е*/%).
193
Номер измерений */> точное эксперимент. X2 і хіУі Уоі хіУоі у] V2 /
1 2,0 32,100 4,00 64,200 33,7 67,40 31,984 +0,116 0,01346
2 2,2 34,900 4,84 76,780 36,9 81,18 35,034 -0,134 0,01796
3 2,5 39,720 6,25 99,300 41,7 104,25 39,609 +0,111 0,0123
4 2,8 43,980 7,84 123,144 46,5 130,20 44,184 -0,204 0,0416
5 3,0 47,330 9,00 141,990 49,7 149,10 47,234 +0,096 0,0092
6 3,1 48,500 9,61 150,350 51,3 159,03 48,759 -0,259 0,0671
7 3,5 55,035 12,25 192,620 57,7 201,95 54,859 +0,176 0,0310
8 3,8 59,570 14,44 226,366 62,5 237,50 59,434 +0,136 0,0185
9 4,0 62,600 16,00 250,400 65,7 262,80 62,484 +0,116 0,01346
10 4,2 65,300 17,64 274,260 68,9 289,38 65,5342 -0,234 0,0547
Z 31,1 489,035 101,87 1599,410 514,6 1682,79 0,2793
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Из экспериментальных данных можно определить примерные значения параметров а и 6, например, решив одну из систем, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными. Используя результаты решения этих систем, выбираем в качестве нулевого приближения а0=1,7иі0 = 4,0. С учетом этих значений параметров O0 и Ь0 вычисленные данные приведены в столбцах 6—10.
Для определения искомых параметров первого приближения а и ? представим систему нормальных уравнений с численными коэффициентами
V ' 10 248,8 ' '-25,565'
,248,8 6519,68, ,-667,04,
Вычислим определители системы ' 10 248,8 Ї
D =
248,8 6519,68
= 65196,8-61901,44 = 3295,36,
4,-
Д, =
"-25,565 248,8 ,-667,04 6519,68 ' 10 -25,565^1 ,248,8 -667,04, =
= -713,068, -309,828
194
и соответствующие искомые параметры а и ?:
= -0,094.
а = aQ + a= 1,7-0,216= 1,484; b = b0 + ? = 4,0-0,094 = 3,906.
Уравнение для вычисления СКП измерений будет иметь вид (столбец 8 таблицы)
СКП измерений и соответственно параметров а и b будут равны (п = 10, т = 2)
С доверительной вероятностью 0,95 результаты измерений можно представить в виде а = 1,48+0,02; 3,91 ±0,52.
2. Параметры а и b могут быть вычислены, не прибегая к линеаризации зависимости у = а + Ь2х, если сделать замену переменных b2 = с. Тогда для уравнения у = а + сх параметры лис можно вычислить обычным способом, приведенным в примере 7.2.
С помощью уравнений (7.16) и (7.17) и данных таблицы получим а = 1,482, с = 15,25 и b = 3,905. Поскольку параметры а и Ъ практически не отличаются от ранее вычисленных, то оценка CKO S= 0,187. Дальнейшие вычисления позволяют получить ,5^ = 0,083 и = 0,26. Оценку СКП для Ъ получим из соотношения
Sz =— S7 = ^S7 = 0,033. ь де с 2с с
Таким образом, с доверительной вероятностью P= 0,95 получим
я=1,48±0,17; ?=3,91±0,07.
Поскольку способы вычисления параметров и их оценок различны, то и оценки CKO параметров а и Ъ получились разные. Первый способ предполагает итерационный процесс вычисления.
>>*= 1,484 + (3,906)2*,.= 1,484+ 15,25X,..
г 195
Пример 7.9. Для измерения линейного коэффициента поглощения ц ионизирующего излучения радионуклидного источника америция-241, проходящего через алюминиевую пластинку, используется зависимость (геометрия узкого пучка излучения)
