Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
M1 = M10 + a, M2 = M20 + ?, Af3 = Af30 + у, Af4 = Af40 + (3)
где Af10 = Af20 = 2 г и Af30 = Af40 = 1 г — номинальные значения масс; а, ?, у, 5 — отклонения масс гирь от своих номинальных значений, которые необходимо найти с помощью МНК. Поскольку значения т{ определены с погрешностями, то составим систему условных уравнений для отклонений масс гирь в виде
a + ?+y-m^Vp a-y-S-AW2 = v2, ?-y-S-AW3 = v3,
Y-S-^4 = V (4)
a-?-W5 = v5,
a + y-?-S-w6 = v6,
a +?+ ^-AW7 = V7.
При составлении уравнений (4) учтено, что Af10 + M20 + M30 = Af0 и M10 + M20 + AZ40 = M0.
После операции минимизации суммы квадратов остаточных
7
погрешностей v? относительно каждого из четырех неизвест-
M
ных (a, ?, у, и Q получим следующую систему нормальных уравнений:
5-a + O-?+by-l-S = ^, 0-a + 5 •p- 1 -у+ 1 -? = ?,
l.a-l.? + 5-y + (4 = H3> (5)
-ba+l-? + 0-Y + 5-$ = n4>
в которых для упрощения записи системы (5) введены обозначения:
An1 + т2 + AH5 + AH6 + AH7 = ^1,
YYXx- YYX2- AW3 + /H4 + AH6 = Ц3, (6)
-AH2 - AH3- AH4- AH6- AH7 = ^4-
199
Используя данные (2), получаем: H1 = 12' 10"2 г, ^x2 = 2 • 10~2 г, ц3 = 0, ц4 = 2 • Ю-2 г.
Решим систему нормальных уравнений относительно переменных а, ?, у и ?. Для этого вначале вычислим определитель системы (5)
Д =
5 0 1-1 0 5-11 1-15 0 -110 5
5 0 0 0 0 5-11 1-250 -12 0 5
= 525
(7)
и определители искомых переменных:
Д.- =
Hl 0 1 -1
H2 5 -1 1
H3 -1 5 0
H4 1 0 5
5 И. 1 -1
0 H2 -1 1
1 H3 5 0
-1 1*4 0 5
5 0 Hi -1
0 5 1
1 -1 H3 0
-1 1 H4 5
5 0 1 ^i
0 5 -1 H2
1 -1 5 H3
-1 1 0 H4
= 115ц, - 10ц2 - 25ц3 + 25ц4 = 14,10, (8)
= -1On1 + 115ц2 + 25ц3 - 25ц4 = 0,60, (9)
= -25ц, - 25ц2 + 115ц3 - 10ц4 = -2,70, (10)
Дт = T / Г2 = 25ц, -25ц2 - 10ц3 + П5ц4 =4,80. (11)
Вычислим значения переменных, используя (7)-(11): a = ^a- = 0,027 г, ? = = 0,0011 г,
д д
Д- A-
у = = -0,005 г, ^ = — = 0,009 г. А Д
Таким образом, оценки действительных значений масс гирь равны
Mx = 2,027 г, M2 = 2,001 г, M3 = 1,995 г, Л/4 = 1,009 г.
200
Теперь определим дисперсию условных уравнений по формулам (7.5). Для этого, используя систему условных уравнений (4) и подставляя в них найденные значения неизвестных а, ?, у, и a также Tn1 из (1), получаем следующие значения V1.* 10~2: V1 = -»2,70, v2 =-2,73, V3 = 0,70, v4 = -2,41, v5 = 3,57, V6 = 3,16, v7 = -1,29 — и в соответствии с (7.6) определим
S2 = —— У V12 = 15,14 • 10"4 г, S = 3,89 • 10"2 г « 39 мг. п-т Й
В этом соотношении учтено, что число измерений л = 7, число переменных т = 4.
В соответствии с (7.5) вычислим алгебраические дополнения к определителю (7), получаемые для переменной а вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца, переменной ? — 2-й строки и 2-го столбца, переменной у — 3-й строки и 3-го столбца и переменной ? — 4-й строки и 4-го столбца. После вычисления получим Л j j = Да = A22 = Ap = A33 = Ду = A44 = = 115 и далее оценки дисперсий
52 = 52 = 52 = 52 = ^-15,14-10-4 =3,316-10-4 г2
и CKO Sa = Sp = Sy = = 0,0182 г = 18,2 мг. Довольно большая дисперсия и, соответственно — CKO результатов оценки действительных значений масс гирь обусловлена большими погрешностями, которые были получены при измерении различных сочетаний взвешиваемых масс (50; 50; -10; 10; -10; -20; 50 мг).
Если распределение результатов измерений не противоречит нормальному распределению, то, используя табл. П5 при к = п- т = 3, получим t0 90 = 2,353.
Таким образом, доверительный интервал для вероятности P= 0,90 будет составлять є (P) = t090S= 2,353 • 18,2 • 10~2« 0,043 г = 43 мг.
Пример 7.11. Выполняется калибровка углов четырехгранной призмы. При определении отклонений ф. углов призмы от 90° и их сумм получены следующие значения:
(P1 = 5'35"; ф2 = 3'22"; ф3 = -247"; ф4 = -6'26"; Фі + Ф2 = 8'50"; ф2 + Фз = 31"; Фз + ф4 = -8'53"; ф4 + Фі=-37". (1)
Сумма отклонений четырех углов призмы ф1 + ф2 + ф3 + ф4 * 0, и это свидетельствует о том, что отклонения углов измерены с некоторыми погрешностями.
Определить (поправить) отклонения углов четырехгранной призмы, учитывая, что алгебраическая сумма их должна быть равна нулю. Измерения равноточные.
201
Решение. Из условия, что сумма углов призмы равна 360°, можно получить уравнение связи для отклонения углов (p1 + ф2 + + Ф3 + Ф4 = 0 и, соответственно, выразить одно из переменных через другие для того, чтобы сократить количество отыскиваемых переменных до трех. Подставив в (1)
получим вместо седьмого и восьмого условий (1) дополнительные соотношения, связывающие между собой отклонения трех углов: Ф1 + Ф2 = 8'53" и ф2 + ф3 = 37". Введя для упрощения расчетов следующие обозначения:
Ф1 + Ф2 + Ф3 = 6'26" = 386" = ф123, Ф! + Ф2 = 8,50" = 530" = ф12,
запишем по результатам экспериментальных данных следующую систему условных уравнений:
1•(p1 +0-ф2 +0-ф3 =фр 0 • (p1 + 1 • ф2 + 0 • ф3 = ф2,
0 • (p1 + 0 • ф2 + 1 • ф3 = ф3, 1•(p1 +1-ф2 +1-ф3 =ф123, 1•(p1 + 1-ф2 +0-ф3 = ф12, 0•(p1 +1-ф2 +1•(p3 =Ф23,
1 •(p1 + 1-ф2 +0-ф3 = ф21, 0•(p1 +1-ф2 +1•(p3 =Ф32,
а также систему условных уравнений с использованием остаточных погрешностей, которая необходима для непосредственного применения МНК, в виде
