Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
В таблице N* = А + В Ax1; NiT — теоретическое значение средней скорости счета, полученной из (1) при табличном значении коэффициента линейного поглощения гамма-излучения энергией 60 кэВ (источник америций-241) алюминием ц = 0,656 см-1; ATV= N* - NiT, /1 = 8 — число измерений.
В соответствии с методом наименьших квадратов составим систему уравнений
'An + BZAx1=ZNn
\AZAxt + BZ[AX;)2 =5>Д- (3)
Используя результаты вычислений, приведенные в таблице, систему уравнений (3) и решений этой системы в виде (7.16) и (7.17), получаем
189
N. = A + BAx1 = 1700-951Ax1.. (4)
В таблице приведено сравнение (два последних столбца) полученной зависимости в характерных точках диапазона градуировки: в начале, середине и конце шкалы. Видно, что погрешность от неточности линейной градуировочной зависимости не превышает 2%. Используя формулы (7.19) и вычисления, представленные в таблице, получаем, что дисперсия измерений ^ = 5480/6 = 913,3, a CKO оценок А и В соответственно равны
SA = 30,2 J = 30,2 • 0,543 = 16,4 с"
SR =30,2 I = 56,3 см"1 - с"1. в м 2j3
Пример 7.6. Используя метод наименьших квадратов, можно доказать эффективность оценки математического ожидания при п измерениях одной и той же физической величины X.
Известно, что среднее арифметическое х
- 1 А X = - 2>,
п ы
является наилучшим приближением к математическому ожиданию тх. Докажем, что дисперсия этой оценки является минимальной, т.е. оценка эффективная. Для этого предположим, что среднее арифметическое равно некоторому значению х*.
Рассмотрим условие, при котором сумма квадратов отклонений измеренных значений от выбранного х* (т.е. сумма дисперсий) становится минимальной:
у- ?(*,-*)2-
min
/=1
Используя первую производную по X*, получаем
—г = 2^-2(х. - X J = 0 или X=— 2_jX. = х.
дх Ы\ v 1 п м
7.1.2. Применение метода наименьших квадратов для нелинейных функций
При нелинейной зависимости (7.1), если по условиям эксперимента допустима замена нелинейной функции на линейную в некотором диапазоне изменения аргумента х, после такой замены определение параметров А и В осуществляется с помощью МНК. Подобный случай рассмотрен в примере 7.5.
190
В общем виде задача определения неизвестных параметров А и В при нелинейной зависимости (7.1) от них с помощью MHK осуществляется в несколько этапов. Вначале функция (7.1) линеаризуется в области некоторых значений искомых параметров и отыскивается первое приближенное выражение для искомой функции с помощью МНК. Если полученное приближение отвечает заданной (требуемой) точности, то полученное приближение функции принимается. Если полученное приближение не отвечает требуемой точности, то, используя его, переходят к более точному приближению, т.е. для получения результата требуемой точности используется итерационный процесс.
Для упрощения решения нелинейных зависимостей часто применяют замену переменных с помощью функционального преобразования, которое приводит нелинейную функцию к линейной. Наиболее распространенными преобразованиями является использование логарифмических и обратных функций (см. табл. П16, а также примеры 7.4, 7.8 и 7.9). Построение нелинейных зависимостей методом наименьших квадратов приведено в [19].
Пример 7.7. Рассмотрим общий случай применения MHK к нелинейной зависимости. Пусть имеется нелинейная зависимость
где а9 b — параметры, которые необходимо определить. Рассмотрим в этом примере применение MHK для двух случаев (процедур) получения нормальных уравнений [17, 18]:
1) вначале с помощью разложения в ряд Тейлора записывается линейное приближение уравнения (7.20), а затем, минимизируя сумму остаточных погрешностей условных уравнений, формируется система нормальных уравнений;
2) вначале минимизируется сумма остаточных погрешностей условных уравнений, а затем с помощью разложения в ряд Тейлора, ограничиваясь линейным приближением, формируется система нормальных уравнений.
В первом случае функциональная зависимость (7.20) представляется в виде
y=F(a9 Ъ9 х)9
(7.20)
* Г,(а0,Ь0,х,) +
Уі = Fi(a> b> хі) a OF1(Q09 b09 X1) ^ [ 8F1(H09 Ь09 X1)
(7.21)
где a = a0 + a, b = b0 + ?, a и ? — малые величины.
191
Составляется система условных уравнений для линейного приближения функции (7.20): yt - F (a, b, х,.) = v., а затем, как обычно, отыскивается минимум суммы условных уравнений по параметрам аир:
У і - pk V *,)--Ja-а----?
Z
/=1
= v] т*п •
(7.22)
/=і
Приравняв первые производные по а и ? нулю и отбросив произведения малых величин второго порядка малости, получим систему нормальных уравнений относительно параметров а и ?:
п (?)F Л2 п f)F f)F п f)F п f)F
«ZhrM +?Z^^Z^-Z^^*
ы\\ да J ы\ да db да J^i да
"dF0i BF01 ^fBF0A2 - BF01 - BF01 <7-23>
где для упрощения записи введено обозначение F0i= F(a0, b0, X1) — значение функции (7.20) и ее производных в точке а0, Ь0, хг
Во втором случае составляется система условных уравнений для нелинейной функции (7.20) и затем отыскивается минимум по параметрам а и Ъ\
