Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
Оказывается, что матрицы X и А * в значительной степени аналогичны
операторам х и d/dx: именно они представляют эти операторы в некотором
функциональном пространстве, натянутом на полиномы степе--ни меньше п
[139]. Отсюда можно получить большое число матричных тождеств.
5.2. Движение полюсов нелинейных эволюционных уравнений и связанные с
этим
интегрируемые многочастичные системы
В работе Эро, Маккина и Мозера [116] (которая была основана на более
ранних работах Крускала [227] и Тикстуна [295]) была открыта глубокая
связь между рациональными решениями u (х, t) уравнения Кортевега-де Фриза
щ = 6иих-иххх (5.2.1)
и решениями многочастичной системы с потенциалом u(qi, ... , q") = = Е
(<7у - <7fc)~2, описываемой уравнениями
/< к
Qj=Pj, Р/ = 2 2 (Pi~Qk)'3¦ (5.2.2)
/ < к
218
Именно, в работе [116] была доказана Теорема. Функция и (дс, t) вида
и(х, t) = 2 2 (x-xdt))~2 (5.2.3)
/= 1
является решением уравнения (5.2.1) в том и только том случае, когда:
d(d+l) , " ч
а) п =---------- , d - целое; (5.2.4)
2
б) величины [*i(fo), • • • >*п(*о)> Pi(^o). • • • > Рл(го)]
определяют
1 :
положение равновесия гамильтоновой системы с Н = Н2 = - tr(L ), где
L дается формулой (5.2.5), или, иными словами, выполняется следующее
условие:
Pjifo) ~ 0, 2'(ху (Г0)-^(М)"3=0; (5-2.5)
к
в) величины Xj{t) являются решениями уравнений Гамильтона для системы с
гамильтонианом
Н = Н3 = - ti(L3). (5.2.6)
3
Нетрудно показать, что эти уравнения эквивалентны следующим: х} = 6 Ъ(х,-
хку2 (5.2.7)
к
или
Xj = 2 2' (Xj - ХкУ3. (5.2.8)
к
Аналогичные результаты были получены также в работе [149], где было также
рассмотрено уравнение Бюргерса-Хопфа и обсуждался ряд других вопросов.
Функцию и (х, t) в (2.3) можно переписать в виде d2
и(х, t) = -2 - \nPd(x, t), (5.2.9)
dx
где Pd(x, t) - полином по x степени n
" d(d + 1)
Pd(x,t) = П (x-Xj(t)), n = ------------ . (5.2.10)
/ - 1 z
В простейшем случае d = 2 имеем
P2=x3+t, u(x, t) = 6x(x3 - 2r)(x3 +t)~2. (5.2.11)
В работе [114] для полиномов Рк была получена следующая рекуррентная
формула:
P'k+iPk-i -P'k-iPk+i =(2к + 1 )Рк. (5.2.12)
219
В работе [83] были рассмотрены рациональные по дс решения уравнения
Кадомцева - Петвиашвили
Ъx(ut - 6иих - UxXX) = 3d2uyy. (5.2.13)
Полюса функции и{х, у, /) зависят уже от двух переменных у и t,
кото-
рые играют роль временных переменных для гамильтоновой системы с двумя
гамильтонианами
1 1
H2=-tiL2, H3 = -tiL3. (5.2.14)
2 3
Уравнения движения в рассматриваемом случае имеют вид
Ъх/ _ ЪН2 Ърj _ ЪН2
Ъу Ър/ ' Ъу Ъх/
15 2 151
Эху _ ЪН3 bpj_ ЪН3 ' ' 1
Э/ Эр/ ' Э/ bxj
В работе [83] была доказана
Теорема. Решения уравнения Кадомцева - Петвиашвили (5.2.13), убывающие
при | х | имеют вид
м=2 2(х-ху(у, Г))-2, (5.2.16)
/
где величины х;-(у, t) удовлетворяют уравнениям (5.2.15). Формулой
(5.2.16) описываются все убывающие по х решения уравнения Кадомцева -
Петвиашвили.
В работе [73] были изучены неубывающие рациональные решения уравнения
Кадомцева - Петвиашвили. Так же, как и для решений многочастичных систем
типа I-III, задача была сведена к нахождению собственных значений
некоторой матрицы.
Относительно связи эллиптических решений уравнения Кадомцева -Петвиашвили
с решениями много частичной задачи, потенциал взаимодействия для которой
дается ^-функцией Вейернгграсса, см. работу [85].
Еще одним примером уравнения, обладающего рациональными решениями,
является уравнение Бенджамина - Оно
2ut + 2иих + Нихх = 0. (5.2.17)
Это уравнение, так же как и уравнение Кортевега-де Фриза, описывает волны
на воде. В (5.2.17) символ Н означает преобразование Гильберта
Р и(у)
Ни(х) = - / -- dy. (5.2.18)
7Г -- у - X
Символ Р означает главное значение.
Как было показано в работах [145-148], это уравнение обладает
рациональными по х решениями вида
ц(х, Г) = / 2 {(х - аДГ))"1 - (х - а/(г))-1}. (5.2.19)
)
220
Здесь все величины aj(t) являются различными комплексными числами,
находящимися в верхней полуплоскости комплексной переменной х.
Подставляя выражение (5.2.19) в уравнение (5.2.17), получаем уравнения
движения для величин aj(t)
ia,(f) = 2' (в* - а,Г1 + 2' (в/ - ак)~1. (5.2.20)
к к
Дифференцируя (2.20) еще раз по времени и еще раз используя (2.20),
получаем
а) = 2 Г (а,-аку3. (5.2.21)
к
Таким образом, полюса решения уравнения Бенджамина - Оно движутся так же,
как частицы в системах типа I. Подчеркнем, что в отличие от случая
уравнения Кортевега-де Фриза на величины не накладывается никаких
дополнительных ограничений типа (5.2.5).
Помимо рациональных решений для уравнения Бенджамина - Оно существуют
также тригонометрические решения:
и(х, t) = / { 2 tg(x - ak(t)) - 2 tg(x - afc(r))}. . (5.2.22)
к к
Величины ay (г), как нетрудно показать, удовлетворяют уравнениям
ia, = { 2'tg(ак - aj) + 2'tg(zy - ак)}. (5.2.23)
к к
Таким образом, полюса в рассматриваемом случае движутся так же, как
частицы системы типа III:
aj т 2 2' cosec(ay- - ак) tg(а/ - ак). (5.2.24)
В качестве последнего примера рассмотрим уравнение Кортевега-де Фриза при
