Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
случае в качестве 9*0 можно взять 3*СЛ 90, а в качестве 3й можно взять +
9*.
2. Размерность орбиты G ¦ х дается формулой
2dim(9ki2l9ki2)+ 2 Е dimad*s х. (4.7.5)
k/2<j<k 1
3. Условия теоремы выполняются для борелевских подалгебр вещественных
расщепимых алгебр Ли. В действительности для таких алгебр справедливо
следующее
Предложение. Пусть 9= Ъ9к - расщепимая полупростая ал-
fc
гебра Ли, градуированная высотой корней. Тогда для любого к пространство
9к можно представить в виде линейной суммы коммутативных подалгебр 9'к и
9к, 9к = 9'к + 9'к, натянутых на корневые подпространства и,
следовательно, $0-инвариантных. Это предложение проверяется путем
просмотра всех систем корней по отдельности.
208
Приведем теперь список канонических координат и гамильтонианов для систем
типа Тоды на элементарных орбитах (гамильтонианы, используемые ниже,
индуцированы формой Киллинга). Детали вычислений можно найти в работе
[216].
Серия Аг. Обозначим через Ец. матрицу (г + 1) X (г + 1), элемент которой
fnna (jk) равен единице, а все остальные элементы равны нулю. Пусть
с*!,... , аг - простые корги. Тогда корневой вектор,
соответствующий а = (*1 + .. . + аг, - это Еа = Е1г + 1, и
орбита, проходящая через ?*,
имеет следующую параметризацию:
хл = 1 - 2 QiPjEtj + ХЯ!Р{Ег+иг+1, <7i >0, . (4.7.6)
' i й)
а гамильтониан имеет вид
НА = 2 qjpj + Е q^PiPj+q2- (4.7.7)
/</ Kj
Серия Br. В этом случае имеются две элементарные орбиты Тоды: одна
соответствует короткому корню
as=.ai+.. , + dtr (4.7.8)
(это корень вида 2?'1>0+ E0fl ), а другая - длинному корню
а, = с*! + . . . + аг_ j + 2аг (4.7.9)
(это корень вида ?'1_г - Er _ j). Мы имеем
ХВ s ~ ' ^<?f(2?',-,o +?'o,-i) - QiPj(.EiJ ~
л/Тб 2 i^i
<7,>0, (4.7.10)
Нв%"= + 2 ч!р]+Я2, (4.7.11)
2 i i<j
1 г-1 1
ХВ1~ ТГ Як(Ек, - г ~ Ert-k) <?г(2?'г.о +?'о.-г) ~
2 fc = i VTo
1 ^ n/To '•-i
- ~ ^ QiPm(Ei^n - Е_т - - Е qlcplc(2Elc 0 +Е0 к) -
21йт<г 8 * = 1
1
- - 'Lqipi{Er r - F.^.r), <7i > 0,
2 i
HB,1 = E QiP1 + fl/fl/P/P, + TT(9<?2 - 17<7?)P? + fl2 ¦ (4.7.13)
i ^ j l" ^ ^
Серия Сг. Здесь, как и вьппе, имеются две элементарные орбиты Тоды,
соответствующие корням
as=.ai + . ..+ar, as^Es = El _r+Er_i (4.7.14)
и
а; = 2ai + ... + 2аг_1 + аг, а;->¦?'; =?'ii_i. (4.7.15)
209
8. А,М. Переломов
1
-- 2 4lPm(El,m Qi > Ot (4.7.16)
2 l^m<r
r- 1
HC,s= ¦ 2) q2pj + 'ZqiqJpip,+ E qkqrpkpr + q2p2r+ q2, (4.7.17)
"'</ fc = i
^cr -- Sfl/fly(?/f_,+?),_,)- i E qtPj(Ejj 2%/2 'V
fli>0, (4.7.18)
EC,i = | 2<7?P,? + 2 qjpj +q*, q*= (q2)2. (4.7.19)
2 i i </
Серия Z)r. Здесь имеется одна элементарная орбита Тоды, соответствующая
корню
as = ai + • • • + (r)г> а,-"-?'4 = ?,1,1 1,-1, (4.7.20)
и мы имеем
11
XD=~ 2 Qt(.EiA-r-Er-iri) + - qr-i(Er-i,r-E_rA_r)-2 i?=r-1 2
1 1
_ T 2 qtPj{Et j - E_j _t) - - Xqipi(Er_ x r_1 -E1_r l _r) -2 2 t
1
2 <WV-i(?V,-/-•?/,-"¦) +
2 i*r-l 1
+ - qr-\Pr-iiErr-E_r_r), <?i>0, (4.7.21)
яо = ~ 2"/P?+ 2 Qlpj + Q^Pr-i - <tf-lP?-<7r-l<7rPr-lPr+<72-
2 ' <<y (4.7.22)
Приведем также результаты для исключительных простых алгебр
Ли.
Вычисления удобно выполнять в базисе Шевалле (см. [7])
с точностью до
знаков структурных постоянных, что достаточно для нахождения
гамильтонианов.
Алгебра G2. Здесь имеются три элементарные орбиты Тоды, соответ-
ствующие'корням
+ а2, 2ai + а2, 3o?i + а2. (4.7.23)
Соответственно имеем
ffGt(i,i) = qipl+3q2p2+3q1q2plp2+3qjpl+q2,
Нсг( 2,1) =q\(p\ +fli) + 4fli(p2 +q2) + 3q2(p2 +q\), (4.7.24)
HG^,i) = q\p\ +ч1р1 -QiqiPiPi +3q\p\ +q6 ~~q2.
Алгебра F4. Здесь имеются две элементарные орбиты Тоды, соответствующие
корням
а^=.а! +а2 + а3 + а4, (4.7.25)
HF s = ^qjpj +2 Е qjpj + Е qjpl + Е fl,fl4p<p4 +<72,
(4.7.26)
4* * /</аЗ i = l 1=1
И
а, = ai + а2 + 2а3 + 2а4, (4.7.27)
з
HpAi = Е^ qjpj + 3?4р4 + 2(q2p2 + q3p3)q*p4 +
+ 2 E + 4(<?1 + 2^1 + 2<?l)pl +
i</^3
+ 4(a! +^1)4 + ( * "?)a (4J-28)
A? "-1
Алгебры F6, E-j, E$. Здесь имеется лишь одна элементарная орбита Тоды для
каждого случая, которая соответствует корню
а= (*1 + .. . + аг, (4.7.29)
где г = 6, 7, 8 соответственно. Гамильтонианы можно записать в едином
виде:
нЕ - 3-?ф; - \ я1р1 * i Ji<t W;-
5
- Е qlqsPtPs+ql}Pl+ S qjpj +
i=cj + l i</<8 '
+ E Рб /7- + <7?<г! +<?L 2 ?? + 2 qjq\, (4.7.30)
i = 2 i=l i=2
где со.= 3, = <?2 = 0для?6,со =2, fli = 0 дляЕп и со = 1 дляE8.
8*
211
4.8. Интегрируемость систем типа Тоды на орбитах общего положения
В предыдущих разделах рассматривались гамильтоновы системы на орбитах
типа Тоды, размерность которых равна 2г, где г - ранг группы G; например,
гамильтоновы системы на орбитах размерности 2 (п - 1) группы SL(n, IR) -
группы вещественных верхних треугольных матриц с положительными
элементами на диагонали. Как мы видели, такую орбиту О можно
рассматривать также как орбиту действия группы В в пространстве S6-
пространстве вещественных симметрических матриц. Мы будем рассматривать
динамическую систему на орбите О, порождаемую гамильтонианом
и стандартной пуассоновой структурой на 3й33*.
