Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
наличии затухания [144]:
ut + иххх - 12иих - сНих = 0. (5.2.25)
Здесь Н - преобразование Гильберта (5.2.18). В этом случае также имеется
класс убывающих рациональных решений уравнения (5.2.25). Простейшая из
них имеет вид
и(х, t) = [х - а - ic(г - t )] ~2 (5.2.26)
и становится сингулярным (для вещественных х) при t = t.
Более общее решение имеет вид
и(х, г) = 2 [х - х/ (/)]"2, (5.2.27)
/= 1
где все величины Xj находятся в верхней полуплоскости. Производя замену
переменных
Xj(t) = Zj(t)+ict, (5.2.28)
можно преобразовать уравнения для xj(t) к уравнениям для полюсов обычного
уравнения Кортевега-де Фриза (см. начало настоящего раздела):
ij = -12 2'(zy -zk)'2, 2'(zy - zk)~3 =0. (5.2.29)
к к
221
5.3. Движение нулей линейных дифференциальных уравнений в частных
производных и связанные с этим интегрируемые многочастичные системы
Следуя работе [138], рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в
частных производных 1
Фи + - [Фхх ~2хфх+2пф] =0. (5.3.1)
Нетрудно видеть, что это уравнение допускает решения, являющиеся
полиномами степени п по переменной х :
\p(x,t) = П (дс-хДг)). (5.3.2)
/= 1
Подставляя ф(х, /) в (5.3.1), получаем систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
Xj + Xj = 2' (1 + 2 Xj xfc) (х/ - xfc)_1, / = 1,..., n. (5.3.3)
к
Эти уравнения для величин xj(t) мы будем рассматривать как уравнения
движения системы п взаимодействующих частиц. С другой стороны, представим
решение ф(х, /) в виде
ф(х, r) = 2 пН"(х) + 2 ck(t)Hn_k(x), к = 1 (5.3.4)
где Нп(х) - полином Эрмита, который является решением уравнений Н^(х)-
2хН'п(х) + 2пНп(х) = 0 (5.3.5)
и нормирован условием Я"(х) ~2пхп при х -> °°. (5.3.6)
Для коэффициентов ck(t) из (5.3.1) следует уравнение ск+кск= 0, * =
1,...,л, (5.3.7)
решение которого имеет вид ск(0 = с*(0) cos (у/к t) + к~112ск(0) sin (\/к
t). (5.3.8)
Итак, мы нашли явное выражение для функции ф(х, /), нули которой и
являются координатами интересующей нас системы. Рассмотрим еще одно
уравнение
1 гфt + - [Фхх -2 хфх+ 2пф] = 0. (5.3.9)
Подставляя в него решение вида (5.3.2), получаем систему уравнений
iXj = -Xj + H{xj - xk)~x. (5.3.10)
к
Дифференцируя (5.3.10) еще раз по t, получаем систему
Xj = -Xj + 2 2' (xj - xfc)-3, (5.3.11)
к
222
т.е. уравнения движения для системы п частиц с гамильтонианом
Н= ~ .2 (р2 + *?)•+ 2 (xt-xk)~2. (5.3.12)
2 j = 1 ' ' j < к
С другой стороны, нетрудно найти полиномиальное решение уравнения
(5.3.9), а именно
ф(х, r) = 2-"2 ck(t)H"_k(x), (5.3.13)
к
где
ck(t) = ck(0)exp(ikt). (5.3.14)
Таким образом, функция ф{х, /), а следовательно, и величины Xj(t)
определены для всех значений Г, но при этом лишь для начальных условий
специал ьно го вида (5.3.10).
Рассмотренные выше два примера являются частными случаями определенного
класса динамических систем, которые могут быть решены описанным выше
методом. Мы приведем здесь лишь некоторые результаты. Более детальное
рассмотрение можно найти в [43].
Рассмотрим теперь следующее линейное дифференциальное уравнение в частных
производных ,
(Л0 +А1* + А2х2 + А3х3) фхх + (В0 + Вгх -2(п - 1 )А3х2)фх +
+ c\ptt + [Е- (п- l)Z)2x] \pt + (D0 +Dix + D2x2)\pxt -
-[п(п-1)(А2-А3х)+пВ1]ф=0 (5.3.15)'
и полиномиальное по х решение (5.3.2) этого уравнения. Подставляя ф(х, t)
в виде (5.3.2) в (5.3.15), получаем систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
с х, +Exj =В0 +BiXj + 2'(*/ - Xfc)-1 [2(j40 +A\Xj +А2х2 + А3х/ хк) +
к '
+ 2cxjXk-(xj + xk)(D0 +Dlx)-D2xi(xixk-XjXk)\. (5.3.16)
Эти уравнения для величин x/(t) можно рассматривать как уравнения
движения системы п взаимодействующих частиц и исследовать их описанным
выше способом.
5.4. Разное
5.4.1. До сих пор мы рассматривали лишь одномерные многочастичные
проблемы. Однако, используя формальный прием (''комплексифика-цию"),
можно получить отсюда определенные ''уравнения движения", которые
напоминают уравнения движения для соответствующих двумерных
многочастичных систем [137].
Рассмотрим, например, классическую нерелятивистскую задачу частиц
единичной массы, движущихся по двумерной плоскости (х, у) и
взаимодействующих друг с другом с помощью силы
Fir) =/(r)-co2r, (5.4.1-)
223
где
fxif) = gr'6x(x2 - 3у2) = gr~3 cos 3q>, 4 2)
fy<f) = gr~* ¦ V У2.
Здесь fx и /у - это дс- и ^-компоненты силы /, дс и у (соответственно г и
<^) - декартовы (соответственно полярные) координаты вектора г,
связывающего две частицы. Заметим, что модуль силы / (г) зависит лишь от
г, однако сама сила /(г) не является центральной. Кроме того, эта сила не
является консервативной. Тем не менее уравнения движения рассматриваемой
многочастичной системы имеют вид
г) = 2' [f(rik)-u>2r/k\, (5.4.3)
к
где
Гfk = г,-гк. (5.4.4)
Для того чтобы решить их, заметим, что после введения новых координат Zj
= ДС/ + iyf (5.4.5)
мы получаем
zj = Т (gzfj? -w2zjk), (5.4.6)
т.е. уравнения движения для системы типа V Ап_1. Следовательно, решение
дается хорошо известными формулами [95] (см. гл. 3).
•5.4.2. Опишем здесь, следуя работе [264], класс гамильтоновых систем,
