Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
В данном разделе излагаются результаты работы [159], в которой показано,
что для орбиты общего положения такая система по-прежнему остается
интегрируемой по Лиувиллю.
Введем необходимые обозначения. Пусть L - вещественная матрица порядка п.
Определим для нее набор полиномов
где (L -\1)к - матрица порядка (п - к) , получающаяся вычеркиванием к
верхних строк и к правых столбцов из матрицы (L - XI).
Нетрудно видеть, что Рк (L ,А) - полином степени п - 2к по А:
Заметим, что коприсоединенное действие группы В на & сохраняет знаки
величин Е0, к.
Определение. Орбита 0Х называется орбитой общего положения, если все
величины Ео к (х) отличны от нуля.
Пусть Ох - орбита общего положения. Тогда можно определить величины
1 ,
н = - tr(x ), х е 3й,
(4.8.1)
Pk(L, A), ^
(4.8.2)
п-2к
Pk(L, А)= Е Em>k(L)Xn-2k-m.
т = 0
Таким образом, для матрицы L порядка п определены величины
п - 2к - т
(4.8.3)
(4.8.4)
/2-11
2
, 1 < т < п - 2 к.
(4.8.5)
212
Имеет место
Теорема 4.8.1 [159]. Орбита общего положения Ох , проходящая через точку
х0, определяется уравнениями
п - Г
Mgn?o,fc(*) = agnP0,fc(*o), 0< к
(4.8.6)
и ее размерность равна /*2
dim О, =2
и
Функции
/".*(*), 0< к<
п - 1
2 < т < л - 2/:,
(4.8.7)
(4.8.8)
дают
интегралов движения в инволюции для системы Тоды на дан-
ной орбите.
Кроме того, эти интегралы функционально независимы на плотном открытом
множестве в 0Хо.
Набросок доказательства этой теоремы дан в работе [159] . В той же работе
сформулирована
Теорема 4.8.2. Для любых т и к обозначим через {Q(f),P(f)} гамильтонов
поток с начальным условием Q(0) =/, Р(0) = дс0 на касательном расслоении
Г*(СЬ(л)) = {(Р, Q): Q G GL(h), Р - произвольная матрица порядка п }
(4.8.9)
с гамильтонианом
H = Tm>k(Q,P)-Im,k (Q'P) ¦
Тогда
x(t) = S(t')x0S(t) (4.8.10)
- зто решение уравнений движения для динамической, системы на с
гамильтонианом Н = 1т к(х) и начальным условием x(0) = Дс0. Здесь Q (t) =
= S (t)K (г), где S (t) - верхняя треугольная матрица, К (г) -
ортогональная матрица.
Иными словами, рассматриваемая система на орбите Ох является проекцией
соответствующей системы на ^'(GL^)).
213
Глава 5 РАЗНОЕ
5.1. Равновесные конфигурации и малые колебания некоторых динамических
систем
Как нетрудно видеть, системы типов III, V и VI (см. гл. 3) обладают
равновесными конфигурациями. Эти конфигурации имеют ряд замечательных
особенностей. Прежде всего, положения равновесия тесно связаны с нулями
классических полиномов. Кроме того, частоты малых колебаний вблизи
положений равновесия и соответствующие им нормальные моды даются
собственными значениями и собственными векторами определенных матриц.
Здесь мы рассмотрим вопрос о равновесных конфигурациях вкратце. Детальное
обсуждение этого и связанных с ним вопросов можно найти в работах [138,
115, 43, 139] и в ряде последующих работ, опубликованных главным образом
в журнале Lettere al Nuovo Cimento.
Начнем с рассмотрения системы типа V (для простоты положим g = 1), т.е.
системы, характеризуемой гамильтонианом
Н2 Е pj + U2(q), (5.1.1)
2 J 1
где
U2(q)=X- E qj + E (q,-qky2. (5.1.2)
2 ]=l ' j<k
Обозначая величины qj в положении равновесия через Xj с учетом того, что
pj = 0, получаем систему уравнений для этих величин:
xj= 2 S'(xy - хк)~3, /=1,2,..., п. (5.1.3)
к
Здесь и- ниже штрих означает, что слагаемое с к =j опущено. В работе
[136] было показано, что величины Xj также удовлетворяют уравнениям
xj = 'E'(Xj-xk)-i (5.1.4)
к
и, следовательно, описывают также положение равновесия системы,
характеризуемой гамильтонианом
Я, =i ? pj +Ul(q), (5.1.5)
2. j 1
где
f/j(<?) = i E qj - E ]n\qj-qk\. (5.1.6)
2 /= l 1 j<k
214
Таким образом, положения равновесия для систем, характеризуемых
гамильтонианами (5.1.1) и (5.1.5}, совпадают.
Известно также, что величины Xj, удовлетворяющие уравнениям (5.1.4),
являются нулями полиномов Эрмита:
Hn(Xj) = 0, /=1,...,л. (5.1.7)
Этот результат не нов; он был открыт Стильтьесом [289, 290] почти сто лет
назад (см., например, книгу [31], подраздел 6.7). Утверждение
относительно совпадения положений равновесия для систем (5.1.1) и (5.1.5)
было получено в работе [136] и является следствием общей теоремы [265].
Рассмотрим последовательность динамических систем с гамильтонианами вида
Hs = ~ 2 pj + Us(q.i,q") (5.1.8)
2 /=1
и потенциальной энергией вида
Us = ^(biUl)(bibJU1)...(bkb,u1)(d,u1), s = 2,3,..., (5.1.9)
где bjU = bUi/bqj, as- степень Us по t/j. Предположим, что система с
гамильтонианом Яj (см. (5.1.5)) обладает стабильным изолированным
положением равновесия
Я° = (Яи- ¦ • = • ¦ ,х").
Теорема 5.1.1 [265]. Система с гамильтонианом вида (5.1.8),
(5.1.9) для любого s > 2 обладает стабильным изолированным положением
равновесия, которое совпадает с положением равновесия для системы
(5.1.5). Частоты малых колебаний вблизи положения равновесия для системы
с потенциальной энергией Us равны s-й степени соответствующих собственных
частот малых колебаний для системы (5.1.5). Нормальные моды малых
