Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
нулю. Приравнивая коэффициенты при степенях переменной 17, получаем
z($)~a(r2-5) при ?->-0 (Б.З)
т
( * (9 \
= a (------- +7-5). (Б.4)
\2*G) )
Однако поскольку функция z(?) определена с точностью до аддитивной
постоянной, то, полагая 5=7, имеем
x"Q)
z(f) = a -^ . (Б .5)
2х(ё)
Таким образом, решение уравнения (Б.1) должно удовлетворять также
уравнению
a / х"(%) х"(г})\
*(?) * (V) ~ x(v) х (О = - ( -----------) х& +17). (Б.6)
2 \х(?) х(г})/
Снова устремим 17 к нулю. Тогда коэффициенты при т?-2,т?-1 и 170 в левой
и правой частях уравнения (Б .6) тождественно совпадают. Приравнивая
коэффициенты при 17, получаем уравнение
*(?)*'"") - 3*'") *"") - 127х(c) х\%) = 0. (Б.7)
Умножая его на х~4 и интегрируя, приходим к уравнению
х~ъх" + 6ух~2 +с =0. (Б.8)
228
Но х(?) ~ а?-1, при ? т" 0. Отсюда следует, что с = -2а-2. Умножая (Б.8)
на хгх и интегрируя, находим
(х1)2 =а~2х* -2цх2 +\, д = 3у. (Б.9)
Заметим, что из (Б.8) следует
z(?) = а ------- = а-1х2(?)+да = а-1 F(?) + const. (Б.10)
2*(?)
Интегрируя (Б.9) с граничными условиями х(?) ~ а?-1 при ? -*¦ 0, находим
выражение для функции, обратной к х(?):
dx
!(х) = ; -====== . (б.и)
* л/(а * - 2цх2 + X)
Это эллиптический интеграл. Он упрощается в следующих.случаях:
(1)д = 0, X = 0, х(?) = а?-1;
(2)д = ±а2, Х = а2а4, х(?) = аа ctha?, aactga?; (Б.12)
а2
(3) д = +-, Х=0, x(?) = aa/(sha?), aa/(sina?).
2
В остальных случаях интеграл можно выразить через эллиптические функции.
Явные формулы для х(?) зависят от положений корней z i и z2 квадратного
уравнения
z2 - 2да2г + Ха2 = 0. (Б.13)
1. Пусть а2 д2 - X > 0, следовательно, z i и z2 вещественны.
Рассмотрим отдельно три случая.
(а) z2 <2i <0.
Положим | Zi | =а2, | z2 |2 = (1 - k2)a2. Тогда da cn(a?, k) dn(a?, k)
sn(a?, A) sn (a?, А) (Б.14)
y(?) = a2 sn-2(a?, k)=g2 &(a?) + const;
(б) Zi <0, z2 > 0.
Положим |zil=A2a2, z2=(l- k2)a2, тогда
dn (e?,A) cn 2(a?, A)
x(?) = a a --------- , v(?) = aa -------------- ,
sn(a?, k) sn (д?,А) (Б.15)
u(?) = a2a2sn-2(a?, к) =g2&>(a?) + const;
(в) Zi > 0, z2 > 0.
Тогда
1 a2cn(a?, A)dn(a?, k)
x(?) = aa , v(?) = a-;------ ,
sn(a?, A) sn (a?, к) (Б.16)
u(?) = a2a2sn-2(a?, к) = g2&'(a%) + const.
229
II. Пусть ар2 - X < 0 и, следовательно, zt и z2 комплексны. Тогда
выражение х4 - 2 д а2 х2 + Ха2 можно представить в следующем виде:
(х2 + 2vx + ау/\) (х2 - 2vx + а\/Х ), v = v- (да2 + а\/Х ).
Сделаем в интеграле (Б.11) замену переменных
х =(Ха2)2/4(х + 1)-1(х - 1), с?х=(Ха2)1/4(х + 1)"22 -с/х.
После этого интеграл принимает вид
\ = л/2(">Д- да2)"1 / [(х2 + т2) (х2 + а2)]-1/2с/х, (Б.17)
X
; -1
где
т2 = [(Ха2)1/4 - Н-1 - [(Ха2)1/4 + v], а2=т"2. (Б.18)
Отсюда получаем ____________________
* (?)=a/[sn(av/2(a\/X - да2)"1 (? + ?<>),*01
или
х(?) = (Ха2)1/4[1 + a-1sn(p, А)]-1 [1 - a-1sn(p, А)], р=а [2(а>/х- ДХ2)-1
]'/2(? - ?о)-Нетрудно показать, что во всех случаях потенциал имеет вид
У(?)=??а2&(а%) + const. (Б.20)
Действительно, из уравнения (Б .9) следует ((х2)')2 = 4а-2х6 - 8дх4 +
4Хх2
или
(К')2 = (4а-2 V2 -8дК + 4Х)К. (Б.21)
Остается доказать, что во всех рассмотренных случаях функции х(?) и z(?)
удовлетворяют функциональному уравнению (Б.1). В этом можно убедиться
прямой проверкой (Б.1), используя формулы сложения для эллиптических
функций (см. [2]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А. монографии и обзоры
1. Арнольд ВМ. Математические методы классической механики. - 3-е изд.
М.; Наука,
1989.- 472 с.
2. Арнольд ВМ., Гивенталь А?. Симплектическая геометрия // Современные
проблемы математики. Фундаментальные направления (Итоги науки и техн.
ВИНИТИ АН СССР). - М., 1985. - Т.4 -С. 5-139.
3. Арнольд ВМ., Козлов ВВ., НейштадтАМ. Математические аспекты
классической и небесной механики // Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). - М.,
1985. - Т. 3. -С. 5-304.
4. Бейтмен Г.,ЭрдейиА. Высшие трансцендентные функции /Пер.с англ. В 3-х
т. - Т.З. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матъе. -
М.: Наука, 1976.- 299 с.
5. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими/Пер.с англ.- М,:Мир,
1981.
6. Биркгоф Дж. Динамические системы / Пер. с англ.; Под ред. А.А. Маркова
и др. - М.-Л.: Гостехиздат, 1941. - 320 с.
7.Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. IV-VI/Пер. с франц. - М.: Мир,
1972.
8. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления / Пёр. с
англ. Д.А. Райкова. - М.: ИЛ, 1947. - 480 с.
9. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики / Пер. с англ. -
М.: Мир, 1981. - 500 с.
10.Дубровин Б.А., Новиков С.П., ФоменкоА.Т. Современная геометрия. - М.:
Наука, 1979. - 760 с.
11 .Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия.
Методы теории гомологий. - М.: Наука, 1984. - 344 с.
12. Дубровин Б А., Матвеев В.Б., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа
Кортсве-га - де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы
многообразия // Успехи мат. наук. - 1976. - Т. 31, вып. 1. - С. 55-136.
13 .Дубровин Б А. Тета-функции и нелинейные уравнения // Успехи мат.
