Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
обладающих дополнительными интегралами движения (однако, по-видимому, не
являющихся вполне интегрируемыми).
Рассмотрим систему с гамильтонианом
Н = ^ 2р? + U(q), U(q) = 2 glv(qa). (5.4.7)
2 / ' <х ек +
Здесь qa = (a, q), R ={ а} - система корней простой алгебры Ли, R+
подсистема положительных корней, ga - константы, равные друг другу для
корней равной длины, v(qa) - вещественная четная функция. Предположим
дополнительно, что п(дс) - полином от х2. Тогда U(q) - полином той же
степени (четной), инвариантный относительно действия группы Вейля W.
Тогда, как следствие известных результатов относительно алгебры
полиномов, инвариантных относительно действия группы Вейля W, мы
получаем, что если степень полинома п(дс) достаточно мала, то потенциал
U(q) зависит лишь от величины q2 = 2 q\. В этом случае рассматри-
а е R +
ваемая система инвариантна относительно действия группы О (я). Она
обладает поэтому дополнительными интегралами
Цк ~ (<7/ Рк - Я к Pj)
и может быть проинтегрирована стандартным способом.
224
Приведем таблицу таких случаев, в которой указаны степени полиномов :
Таблица
С Тип системы корней Возможный вид Тип системы корней Возможный
вид
(и, Я) (v, Я)
А2 Ра ЕА Ра
Ап, п > 2 Pi ЕА Ра
&п ~ Сп Pi E-t Pt
Еп Рг Et P6
Gi P4
Замечание. Тот факт, что для системы типа Аг потенциал v(q) может иметь
вид Р4,отмечался в работе[151].
Приложение А
ПРИМЕР КОМПАКТНОГО СИМПЛЕКТИЧЕСКОГО МНОГООБРАЗИЯ,
НЕ ЯВЛЯЮЩЕГОСЯ КЭЛЕРОВЫМ
Как отмечалось в разделе 1.1.2, любое кэлерово многообразие является
симплектическим.
Обратное утверждение, однако, не верно. Приведем пример (найденный В.
Терстоном в 1971 г., см. [296]) четырехмерного компактного
симплектического многообразия (М, со), не являющегося кэлеровым.
Пусть М = [R4 - обычное евклидово пространство с координатами (Чь Ри Чг>
Pi) к обычной симплектической структурой
oj=dpi Л dqi +dp2 Л dq2. (А.11.1)
Пусть Г - дискретная подгруппа симплектических преобразований
пространства М, порожденная преобразованиями
а- (Я\.Р\,Я2,Рг)^{Я\,Р\,Я2 + ',Рг),
Ъ'¦ (Я1.Р1'Я2,Р2)-*(Я1,Р1,Р2.Р2 +0, (а 1 О)
с- (ЯиР1,Я2,р2)~-(Я1 +1,Р1,Я2,Рг),
d- (Я1,РиЯ2,Р2)-*(Я1'Р1 + 1,^72 +Р2.Р2)•
МногообразиеМ=М/Г - факторпространство Af по действию группы Г - является
симплектическим многообразием, поскольку Г действует на М без неподвижных
точек. ^
Первая гомотопическая группа М 7гх (М) = 7гх (Af/Г) = Г, а первая группа
когомологий Я1 (М, 7t) = Г/[Г, Г] ([Г, Г] - коммутант группы Г,
факторгруппа Г/[Г, Г] абелева). Группа Г/[Г, Г] имеет ранг 3 и,
следовательно, первое число Бетти Ьг многообразия М равно Ь1(М)= 3.
В то же время хорошо известно, что для кэлерова многообразия Ьк (к -
нечетное) является четным (см., например, [37]). Таким образом,
симплектическое многообразие М не допускает никакой кэлеровой структуры.
Отметим (см. [66]), что М - является нильмногообразием, т.е. фак-
торпространством нильпотентной группы. Действительно, пространству М =
IR4 можно придать структуру нильпотентной группы, отождествив
226
' (Яь р 1. Яг, Рд) с матрицей
1 Pi Яг 0 °\
0 1 Рг 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 Я\
\0 0 0 0 1 /
(А. 1.3)
При этом группа Г будет состоять из левых трансляций на элементы
подгруппы Z4. Группа [R4 действует транзитивно на IR4/Г правыми
трансляциями, однако некоторые из этих трансляций не сохраняют симплекти-
ческую структуру.
Отметим также, что построенное многообразие является Г2-расслоением над
тором Т2 и что симплектическая форма со = dpl Л dq^ + + dp2 A dq2 на М
является целочисленной: [со] S Н2{М\ Z). Отметим также, что многообразие
М не удовлетворяет теореме Лефшеца, т.е. умножение на [со] не индуцирует
изоморфизм из Я1 (М; [R) в Я3 (М; IR).
Далее, как показано в работе [297], любое многообразие с целочисленной
симплектической формой со может быть вложено в комплексное проективное
пространство с помощью отображения / такого, что /*со0 = со, где со0 -
стандартная кэперова форма на СPN. Воспользуемся теперь результатом
Громова [187], который доказал, что если dimAf = 2m, то N= 2m + 1. Таким
образом, мы можем вложить многообразие Терстона (М, со) в (СPs, со0).
Громов показал также, что если (М, со) симплектически вложено в (X, со),
то тогда можно раздуть X на подмногообразии М и получить новое
симплектическое многообразие (X, со).
Теперь можно построить новое симплектическое многообразие (X, со) путем
раздутия СР5 вдоль многообразия М. Далее, как показано в работе [244],
многообразие (X, со) является компактным односвязным симплектическим
многообразием с bt =b3= 3.
Приложение Б
РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (3.1.9)
Пусть нечетная функция х(?) удовлетворяет функциональному уравнению
(3.1.9)
^(?)^'(i7)-^(i7)^'(0 = ^(?+t?)[z(?)-z(i7)], z(-?) = z(?). (Б.1)
Нетрудно видеть, что если х(?) регулярна при ? f 0,-то х(?) = 0. Нетрудно
показать также, что функция х(?) должна иметь следующую асимптотику при ?
-*¦ 0:
*")~а(Г!+7& аФО. (Б .2)
Для нахождения общего решения уравнения (Б.1), следуя [34], устремим г? к
