Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
существует х ? О такой, что Ф (х) = П.
Можно дать также более детальное описание орбит коприсоединенного
представления. Для этого введем следующие обозначения. Пусть П1 -
подмножество системы простых корней П. Обозначим через ^(П^ подмножество
положительных корней, натянутых на П х.
Определим
оея+(п,) (4.6.5)
^(ni)= span{tfa, аеПЛ,
и
^(по^аьэ+збам. (4.6.6)
Соответствующая связная подгруппа В (Щ) С В является борелевской
подгруппой в расщепимой полу простой группе G (П!) С G с алгеброй Ли
^(П,) = ^(П1) + ^(П1) + 2?(П1)'.
Пусть {Е*а, а Е R+) - базис для 25*, дуальный к { Еа). Мы отождествим
дуальное пространство 25(TIi) * с подпространством 25*, натянутым на Еа,
ae^+(ni).
Теорема 4.6.2 [182]. Пусть О С S3* - орбита коприсоединенного
представления группы В. Определим ПО= { a ? П: <Еа,0 ) Ф 0}. Тогда
существуют 6 ? Л* и { ? z(П^')* такие, что 0= 5 + Ad^n Кроме того, орбита
О является Cf -регулярной, если и только если П@ = П.
2. Орбиты типа Тоды. Определение. Орбита О коприсоединенного
представления в 55* называется орбитой типа Тоды, если О является ¦^-
регулярной и dim 0= 21.
Иными словами, орбиты типа Тоды - это орбиты минимальной размерности
среди Cf -регулярных орбит. Такие орбиты интересны потому, что в этом
случае инварианты группы G дают полное и инволютивное семейство функций
на любой орбите типа Тоды (т.е. функциональная размерность этого
семейства равна (1/2) dim 0=1).
Следствие 4.6.1. Любой гамильтониан Н &Cf определяет вполне интегрируемую
систему на каждой орбите типа Тоды в S3*.
Из теоремы 4.6.1 мы получаем следующий критерий для орбит типа Тоды.
Следствие 4.6.2. Пусть О- орбита в /0*. Тогда О- орбита типа Тоды, если и
только если dim О = 21 и, кроме того, существует х? О такой, что Ф(х) =
П.
3. Примеры орбит типа Тоды. Хотя полная классификация орбит типа Тоды в
настоящее время не известна, имеется достаточно большое число
204
примеров таких орбит. Естественный способ построения орбит типа Тоды -
это выбрать некоторый элемент х G такой, что Ф(х) = П, и затем проверить,
что орбита 0Х имеет размерность 21.
Конструкция 4.6.1. Возьмем любой корень а ? R+ такой, что Supp(a) = П, и
пусть х ? Е&. При подходящем минимальном а мы получаем орбиту типа Тоды.
Такую орбиту назовем элементарной.
Простейший пример такого типа - это когда В есть группа вещественных
верхних треугольных матриц с определителем, равным единице, и
Возникающая при этом гамильтонова система уже рассматривалась детально в
разделе 4.5.
Для вычисления размерности элементарной орбиты полезна следующая Лемма
[182]. Пусть О " - элементарная орбита, проходящая через Е*, а ? Я+,
тогда
где Na - это число корней /3 ?7? + таких, что (а - /3) GR+. С помощью
этой леммы, а также, используя явное описание системы корней, можно
показать, что справедлива
Теорема 4.6.3 [182]. Следующие элементарные орбиты 0" являются орбитами
типа Тоды:
а) a = Q?i + ... + a; (4.6.8)
для любой системы корней
с*! - короткий корень, а2 - длинный корень для систем типа G2 •
При этом в случаях (И) и (iii) а - это длинный корень.
Просмотр всех остальных случаев [216] показывает, что в случае системы
корней типа G2 имеется еще одна элементарная орбита типа Тоды и
(*1 - короткий корень, а2 - длинный корень.
Таким образом, все элементарные орбиты типа Тоды полностью перечислены.
Для явного описания этих систем необходимо ввести глобальные канонические
координаты на этих орбитах. Этот вопрос детально рассмотрен в работе
[216] (см. следующий раздел).
Перейдём теперь к рассмотрению следующей конструкции.
Конструкция 4.6.2. Начнем с простейшего примера. Пусть ха - ненулевой
элемент^ для любого простого корня а, а
(4.6.6')
dim 0а = Na + 2,
(4.6.7)
б) a = 2 2а/ + 2 оij,
(4.6.9)
где а,- - короткий корень, а;- - длинный корень, для систем корней типа
В",С" и Dn
в) a = 3at +а2,
(4.6.10)
а = 2at +а2,
(4.6.11)
х = ха1+•••+*",.
(4.6.12)
205
Мы приходим к обобщенной цепочке Тоды. В случае &= si (л, IR) элемент х,
определяющий орбиту, имеет вид
(4.6.13)
bn_ i0
Нетрудно видеть, что полученная орбита 0Х является векторной суммой
двумерных орбит:
0Х= (c)i +...+ (c),. (4.6.14)
Перейдем к рассмотрению общего случая. Имеет место Теорема 4.6.4 [182}-.
Пусть П = flj U П2 и П2 П П2 = ф, и Bi - борелевские группы,
соответствующие П[ и П2, a (c)j и (c)2 - орбиты групп Bi и В2,
соответственно. Обозначим через (c) = 01 + 02 векторную сумму орбит Oi и
(c)2. Тогда:
(а) орбита (c) является орбитой коприсоединенного представления группы В;
(б) П(r) (4.6.15)
(в) dim О = dim Oi + dim (c)2.
В частности, если орбиты (c)j и (c)2 /к и /2-регулярны (соответственно
являются орбитами типа Тоды) относительно В j иВ2, тогда орбита (c) /-
регулярна (соответственно является орбитой типа Тоды) относительно В.
Следствие. Пусть П = П] U ... U nt - объединение непересекаю-щихся
подмножеств системы простых корней и предположим, что (c); С С 53(П,) *
являются орбитами типа Тоды для 1 < i < к. Пусть
