Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
колебаний для всех рассматриваемых систем совпадают.
Доказательство этой теоремы элементарно. Применяя теперь эту теорему к
системе с потенциальной энергией (5.1.6) , получаем систему с
потенциальной энергией
1 " а . ^ 1 л(л -1)
- L qj + L ------------
2 /= i i<k(qj-qky
и2(Ди....Яп) = - Vqj+Ъ ------------------ Ц----- (5.1.10)
Отсюда следует, что абсолютный минимум потенциальной энергии равен
п(п - 1)
г/0=-^---------, (5.1.11)
а равновесная конфигурация такой системы с потенциалом Us (q) (см.
(5.1.9)) определяется уравнениями (5.1.3) или (5.1.4).
Используя выражение (5.1.6) для Ui(q), нетрудно получить явные выражения
для матрицы
<4j = (WjUi(q))q =,", b,= blbqh (5.1.12)
215
собственные значения которой дают квадраты частот малых колебаний вблизи
положения равновесия. Именно
"ц = 5//.0 + - хкТ2) - (1 - 5//) (ху - хку2. (5.1.13)
к
Собственные значения этой матрицы равны 1, 2, ,п; частоты
малых колебаний системы с потенциальной энергией (5.1.6) равны у/Т,
у/2,..., у/п.
Отметим, что этот результат следует также из работы [136].
Заметим также, что из (5.1.13) следует, что
Е ацХ] = 2Х{. (5.1.14)
/
Следовательно, вектор х = (хь ..., хп) определяет нормальную моду малых
колебаний системы с потенциалом U2.
Отметим еще следующую гипотезу Ф. Калоджеро. Заменим в формуле
(5.1.13) числа ху на произвольные числа уу и потребуем, чтобы
собственные значения этой матрицы были по-прежнему равны 1,2,..., (л -
1). Тогда с точностью до общего сдвига числа уу совпадают с нулями
полинома Эрмита Н"(х):
уу = Xj + с. (5.1.15)
Аналогично при рассмотрении системы с потенциальной энергией U2 (я)
приходим к матрице
в,к = 5/*(?'(*/ - ^О"4) - (1 - 8/к) (X/ - ^fc)-4, (5.1.16)
которая, как можно показать, связана с матрицей а простым соотношением
В = ^(а2-1). (5.1.17)
6
Следовательно,собственные значения этой матрицы равны
-(fc2-l), 1,2,... ,(л - 1). (5.1.18)
6
Относительно аналогичных результатов для систем с потенциальной энергией
более общего вида см. работу [265].
Для нахождения нормальных мод колебаний вблизи положения равновесия можно
использовать следующий метод. Введем матрицы
Xjk = (1 -5 jk)(xj-xkyl,
Mjk = bjk(Z,(xk - Х/)~2) - (1 -8jk)(xj -хк)~2, (5.1.19)
Qjk = 8jkxk, А± = Q±X
ИЛИ
Afk = 5jk(f'(xj-xlyl) + ( 1 -5 jk)(xj-ХкУ1. (5.1.19')
Заметим, что матрица iX равна матрице L для положения равновесия и играет
роль импульса. Соответственно матрицы А±, введенные в работе
216
[262], играют роль повышающих и понижающих операторов. Действительно, из
работы [262] следует, что для равновесной конфигурации
\М,А±]=±А± (но \A\A~] Ф\М). (5.1.20)
Поэтому если и^ - собственный вектор матрицы М с собственным зна-чениём
рк, то
j4±u(fc) = X±u(fc±1)> Л-и(1> = 0, A*uw = 0, Mfc±1 = м* - 1 - (5.1.21)
Отсюда следует, что собственные векторы и^ получаются из вектора i/1! =
(1,..., 1) по формуле иVе) = ск(А*)к~1и^1^ и имеют вид
M(fc+1) = 7Vfc(^i)---^M), (5-1.22)
где Рк(х) - полином степени к, имеющий определенную четность. Явное
выражение для нормированного вектора было получено в работе
[130]. Аналогичные результаты имеют место и для полиномов Лагерра и Якоби
и функций Бесселя (см. [115,43,131]).
Отметим также, что собственные значения матрицы
8jkXjCos6 +/(1 - 8jk) (Xj - xfc)-1sin0, (5.1.23)
где Xj - нули полинома Эрмита Нп(х), не зависят от величины в и,
следовательно, равны Xj (см. [115]).
Приведем некоторые результаты относительно положений равновесия для
систем типа III [141, 143]). Относительно результатов для систем типа VI
см. статьи [170, 245].
Равновесная конфигурация для системы с гамильтонианом (см. работу [163])
Я = - Ър1 - 2 log | sin {qj - qk) | (5.1.24)
2 ' j < k
дается формулой
7Г
Xj = x о + - j, . j = 1,...,и, (5.1.25)
n
где x0 - некоторая постоянная.
Для частот малых колебаний вблизи положения равновесия в работе [143]
была получена формула
oof = 2s(n - s), s = 1,2,... ,n. (5.1.26)
При рассмотрении малых колебаний такой системы естественно возникают
эрмитовы матрицы
4* = 0-V)
1 +; ctg (/ - к) -
П
(5.1.27)
Bjk = (1 - bjk) sin-\i - к) - , (5.1.28)
n
Cjk = (1 - 8jk) siiT4(/ - k) . (5.1.29)
217
Можно показать [143], что собственные значения матрицы А даются формулами
as = 2s-n~\, s = 1,2,... ,п, (5.1.30)
и что матрицы В и С выражаются через матрицу А согласно формулам
В (А2 +2А~а^)1), (5.1.31)
С = - - (В2 - 2(2 +а(1))Я- а(2)/), (5.1.32)
6
где I - единичная матрица, а
ап1} = 7 ("2 - !)" °п2) =-^(-п2~ 1)(я2 + ^ (5Л-33)
Собственные векторы v ^ этих матриц определяются простой формулой
= exp(-27Пs/'/л), /=1,2,...,и. (5.1.34)
В заключение этого раздела отметим результат, относящийся к матрицам,
построенным с помощью системы произвольных чисел. Пусть числа xj,
определяющие матрицы^ и А* согласно формулам (5.1.19) и (5.1.19'),
произвольны. Определим матрицу N= ХА *:
Njk = bjkXj(L (xj - x,)"1) + (1 - 5jic)xj(xj - xk)~l. (5.1.35)
В работе [115] было показано, что собственными значениями этой матрицы
являются п первых неотрицательных целых чисел.
