Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
Дифференцирование этого уравнения по времени дает d . ~ ~ ~
- (хлГ1) = 2z(L + [M,L ])z~l. (4.3.29)
dt
Мы видим, что если матрицы L, М связаны соотношением (4.3.27), то
уравнение Лакса
L=[L,M] (4.3.30)
эквивалентно уравнению для геодезических (4.3.20). Ясно, что пара Лакса
(4.1.4'), (4.1.5') для цепочки Тоды удовлетворяет (4.1.27). Остается
найти параметры геодезических, которые проектируются в поток Тоды. Без
потери общности мы можем предположить, что матрица Ъ диагональ-на, так
что z (0) =/. Тогда
6 = ехр <2°, <2° = diag(<7l (0), (0)), (4.3.31)
и из (4.3.27) мы имеем
L°=bab~1. (4.3.32)
Следовательно, L имеет вид (4.1.4') в том и только в том случае, когда
матрица а дается формулой (4.3.3).
189
Поскольку уравнения Гамильтона для цепочки Тоды эквивалентны уравнению
Лакса, предположение 4.3.2 доказано.
Остается записать явные формулы для Q(t), определяющей координаты
системы. Для определения матрицы P(t) нам нужна лишь вторая
орисферическая координата z (х), которая выражается через миноры матрицы
exp (2at), не являющиеся главными.
Наконец, прокомментируем соотношение между методом проектирования и
теоремой 1.12.7 о факторизации. Пусть L0 = а - симметричная матрица Лакса
в начальной момент времени. Теорема о факторизации утверждает, что если
exp (tL°) = g (t) k(t) (4.3.32)
представляет факторизацию матрицы exp(fi°) в произведение
ортого-
нальной матрицы к (t) и верхней треугольной матрицы g (t), то
!'(!)= g~l(.t)L° g\i). (4.3.33)
Полагая g(t) = zx (t)d(t), где Zj (т) ?Z,a d{t) - диагональная матрица,
из (4.3.33) получаем
е*Р б (0= d (f) exp Q°. (4.3.34)
С другой стороны, умножая матрицы в уравнении (4.3.32) на
мат-
рицы транспонированные, получаем
ехр(2 tL°)= gg'. (4.3.35)
Сравнивая это уравнение с уравнениями (4.3.21) и (4.3.24) и вспоминая,
что b = exp Q0, получаем
g(t) = exp H2°)z (О exp <2(0.
d (f) = exp (6(0-6°), (4.3.36)
zi(r)= exp (-6 0 ) z 0) exp (6 0 ),
так что факторизации (4.3.24) и (43.32) дают по существу один и тот же
метод решения уравнений движения для цепочки Тоды.
4.4. Цепочка Тоды как редуцированная система
В настоящем разделе мы, следуя работе [97], рассмотрим более подробно
геометрический смысл результатов предыдущего раздела с точки зрения
редукции гамильтоновых систем с симметрией (см. раздел 1.7). Такая
редукция характеризуется определенным моментом - матрицей, зависящей от
констант взаимодействия gj. При этом мы получаем также реализацию
фазового пространства цепочки Тоды как орбиты коприсоединенного
представления группы треугольных матриц.
1. Напомним, что фазовым пространством геодезического потока на
пространстве X = SL(", Ш)/80(л) - пространстве вещественных
симметрических положительно определенных матриц порядка п с
определителем, равным единице, является кокасательное расслоение М = Т*Х
= (х, у} с симплектической формой со = dy Л d(x'1), являющейся G-
инвариантной
190
и точной: со = d$. На М действует группа G = SL(n, CR) согласно формуле
(4.3.13), причем формы со и в инвариантны относительно этого действия.
Элемент ? алгебры Ли $ группы G задает бесконечно малое преобразование
пространства М - порождает векторное поле на М:
- (х~1) = -?'х-1 - х-1 I -у = ?у + у?'. (4.4.1)
dt dt
Это поле является гамильтоновым и, как нетрудно проверить, в свою очередь
порождается гамильтонианом
Н^(х,у) = tr(x_Iy?' + ух~1 ?). (4.4.2)
Поэтому соответствующее отображение момента Ф: Т*Х -*¦ имеет
вид
Ф(х, у) = 2ух-1. (4.4.3)
В качестве группы редукции возьмем подгруппу Z верхних треугольных матриц
с единицами на главной диагонали. Пусть 36 - алгебра Ли группы Z. Форма
Киллинга -Картана (х, у) = tr (лгу) на $ позволяет нам отождествить
дуальное пространство 36* с алгеброй Ли 26' строго нижних треугольных
матриц. Ограничивая отображение момента (4.4.3) на26, получаем
отображение момента Т'Х ->36* =%' для действия Z на Т*Х:
<р(х,у) = 2 (ух-1)", (4.4.4)
где через ?~ обозначена строго нижняя треугольная часть ?, т.е. элементы
?, стоящие на или выше главной диагонали, полагаем равными нулю. В
качестве значения д момента возьмем матрицу
M/fc = 2gk + i • (4.4.5)
Нетрудно проверить, что д является неподвижной точкой присоединенного
действия группы Z.
2. Покажем, что при редукции геодезического потока на X по отношению к
действию группы Z мы получаем цепочку Тоды.
Сначала докажем следующее предложение.
Предложение 4.4.1. Подмногообразие 1 (д) в Т*Х с д и <р, заданными
формулами (4.4.5) и (4.4.4), описывается матрицами
х = z ехр (2Q) z, (4.4.6)
y=zyz\ (4.4.7)
где z пробегает всю группу Z, Q =diag (qi, . . ., q") и
У,-к = Pie2q'bik + gje2qibj, к- 1 + gf_! e2qi~ 'б/. 1>к- (4.4.8)
Доказательство. Как уже отмечалось выше, любую матрицу х € X можно
привести к диагональному виду с помощью преобразования из подгруппы Z: х
= z ехр (2Q)z'. Матрица у при этом переходит в матрицу у: у = zyz '.
После отображения момента этим преобразованиям будут соответствовать
преобразования из коприсоединенного представле-
