Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
191
ния группы Z. При этом очевидно, что группа Z сохраняет момент д (4.4.5).
Следовательно, уравнение 2 (ух _|) " = д дает
exp(-2<jffe)7fc,fc+i = gk• Ук,к+т= 0 для т> 1. (4.4.9)
Полагая у кк = PfcexP(2<?fc) и изменяя масштаб, так что у становятся
симметрической матрицей, получаем (4.4.8).
Однако удобнее параметризовать многообразие у _| (д) не парой (х, у), а
эквивалентной ей парой х (4.4.6) и
ух"1 = Ad ZL, (4.4.10)
где, очевидно,
Ljk = Pfijk +gj-1 5/_ i,к + gje4qi ~ q'+l) 5/>fc_ t. (4.4.11)
Заметим, что L - это матрица из несимметричной пары Лакса (4.1.4') для
цепочки Тоды (cgi = ... =gn-1 = 1)-
Как уже отмечалось, подгруппа^ совпадает со стационарной подгруппой точки
д. Поэтому справедливо следующее утверждение. ^
П р е д л о ж е н и е 4.4.2. Приведенное фазовое пространство М = = 1
(jx)IZ параметризуется двумя векторами
= <?n)e IR" и р(р, ,P")?R",
или, что эквивалентно, двумя матрицами
ехр(20 и L с 'Zqj = 0='Lpj. ' (4.4.11')
Перейдем теперь к рассмотрению гамильтониана (4.3.18), описывающего
геодезический поток. Он инвариантен, в частности, относительно
преобразования из подгруппы Z. ^
П р е д л о ж е н и е 4.4.3. При отображении проекции и: М -*¦ М
гамильтониан (4.3.18) переходит в гамильтониан цепочки Тоды (4.1.1), а
симплектическая форма (4.3.12), ограниченная на </> 1 (м). переходит в
стандартную форму на М:
со = 2dp A dq. (4.4.11)
Доказательств о. Из формулы (4.4.10) следует, что
~ 1 , 1
Н = 2 ух 2 U^L ' (4.4.12)
Очевидно, что Ясовпадает с гамильтонианом цепочки Тоды (4.1.1).
Аналогично, используя формулы (4.4.6) и (4.4.7), мы можем вычислить форму
со = - - tr dy A cf(x"!) на M и показать, что она проектируется в форму
со = dp A dq на М. Таким образом, мы показали, что редукция по отношению
к подгруппе Z дает интересующую нас динамическую систему. Как уже
отмечалось выше, величины
4=^tr(yx"1)fc (4.4.13)
192
являются интегралами движения геодезического потока. Нетрудно показать,
что они находятся в инволюции. Поскольку величины Iк являются Z-
инвариантными (в действительности G-инвариантными), они переходят в
функции Ik = - tr(5fc) на приведенном фазовом пространстве М, к
находящиеся в инволюции. Отсюда в качестве следствия получаем опять
утверждение о том, что цепочка Тоды является вполне интегрируемой
системой, причем интегралы движения даются формулой
7* = ¦)- tr(Z,fc). (4.4.14)
к
3. Обозначим через В подгруппу верхних треугольных матриц в группе G =
SL(/i, [R). Покажем, как в методе редукции возникает реализация фазового
пространства цепочки Тоды как орбиты коприсоединенного представления
группы В ([108], [222]).
Заметим вначале, что действие В на симметрическом пространстве X является
свободным и транзитивным, поскольку любую матрицу х € X можно представить
в виде х = bb', Ь& В, и такое разложение единственно. Следовательно, X
можно отождествить с В, так что действие В на X отождествляется с
действием В на самой себе левыми сдвигами, а Т*Х отождествляется с Т*В.
Пример 3 в конце раздела 1.7 показывает, что гамильтонова редукция Т В по
отношению к действию В левыми сдвигами на точку д, принадлежащую 58*,
дает орбиту коприсоединенного представления, проходящую через д. Мы
должны теперь сравнить результаты двух редукций: одной по отношению к
группе Z и другой по отношению к большей группе В.
Отображение момента рд '¦ Т*Х ->58* дается формулой
*В(Х,У) = 2(ух~1)_, (4.4.15)
где ?_ означает нижнюю треугольную часть матрицы ?. Мы имеем р (х, у) = =
0Рв (х, з0)~- Ясно, что для любого д€ 38*, IРд1 (д) Ср~1 (д~).Пусть 2?д
(соответственно Z ц) является стационарной подгруппой элемента^ д в
группе В (соответственно в группе Z). Приведенное пространство Мв для 5-
редукции является пространством В д-орбит в рд1 (д), тогда как
приведенное пространство М для Z-редукции является пространством 2м-орбит
в р_| (д-). Мы утверждаем, что если д дается формулой
(4.4.5) с gk Ф 0, к = 1, . . . , п- 1, то Z^ = Z и каждая Z-орбита в
</>_|(д ) пересекает рд1 (д) вдоль единственной орбиты группы 5Д.
Действительно, из р(х, у) = д следует, что рв (х, у) = д + d, где d -
диагональная матрица. Нетрудно видеть, что при наших предположениях
имеется элемент z Е Z такой, что (Ad^)z(p + d) =д, где AdJJ -
коприсоединенное представление группы
В. Тогда рв (zxzzyz') =д, так что каждая Z-орбита в р~ !(д) пересекает
Рв1 (д) • Если (х, у) и (zxz', zyz') - две точки в р!1 (д), то
р в (zxz', zyz) = (Ad в)хРв(х,у) = д,
так что (Айд)г д=д, и следовательно, z € В^. Таким образом, пересечение
представляет одну 5М-орбиту в рд1 (д).Мыпоказали,такимобразом,
193
что приведенные пространства М иJ/lg можно канонически отождествить.
Однако, как мы упоминали выше,Л/в совпадает с коприсоединенной орбитой
Oft элемента д.
Нетрудно доказать, что коразмерность Вц в В, следовательно, размерность
орбиты 0^, равна 2(п- 1),т.е. размерности М.
4.5. Обобщенные непериодические цепочки Тоды,
связанные с простыми алгебрами Ли
Рассмотренные до сих пор цепочки Тоды тесно связаны с алгеброй Ли si (л,
