Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
si (и, [R) в рассматриваемом случае обладает $-инвариантным скалярным
произведением и потому, согласно общей теории Костанта-Адлера-Симса (см.
теорему 1.12.6), уравнения движения цепочки Тоды экви-
183
валентны уравнению Лакса
L = [L,M], L=x + h, М = Vtf(x + h)~ = L~, (4.2.15)
или же
L=[L,M], L=x + h, M = -L+ , (4.2.16)
где L ~ означает строго нижнюю треугольную часть матрицы L.
Мы получили, таким образом, представление Лакса в несимметричной форме и
доказали интегрируемость цепочки Тоды исходя из общих теоретико-групповых
принципов.
Б. Симметричная форма представления Лакса. Здесь мы изучим другое
разложение алгебры &= si (и, [R), рассматриваемой как линейное
пространство, в линейную сумму двух подалгебр
8 = 8 + Х, (4.2.17)
где $ - по-прежнему алгебра вещественных верхних треугольных матриц, а
алгебра вещественных кососимметричных матриц. Соответственно разложение
пространства $*, дуального к имеет вид
?*=#*+#•*, (4.2.18)
где ~ - пространство вещественных симметрических матриц, а
- пространство строго верхних треугольных матриц.
Группа верхних треугольных G = { g} матриц действует в пространстве 29* с
помощью коприсоединенного представления согласно формуле
Ad*(g): x-^igxg-1),, geG, xe$*, (4.2.19)
где значок s означает, что мы рассматриваем разложение элемента
"= *,+¦"*, Г ел1*, (4.2.20)
и берем компоненту ?s. Здесь - симметричная часть элемента ?, ? + -
строго верхнетреугольная часть этого элемента.
В качестве начального элемента возьмем
/- 1- 0
. 1 .1 о/
/2 = (Д1 2 + • • • + Еп_ 1 и) .
-fi +/г; fi ~ (E2i + .. . +Спп_1),
(4.2.21)
Тогда орбита Of группы верхних треугольных матриц, проходящая через f,
состоит из элементов вида
bi flj
x=\ai. b2 ¦¦' вя_] > Щ = 0, ak> 0. (4.2.22)
Действительно, действие g на элемент /2 не дает вклада в симметричную
часть ( gfg~1), так что
(gfg~1)s = (gfig~1)s- (4.2.23)
184
С другой стороны, величина (gfxg *),, полностью определяется величиной
откуда и следует утверждение о виде (4.2.22) для х.
Отметим, что естественная пуассонова структура на Of по-прежнему дается
формулами (4.2.6).
Мы будем считать, что фазовое пространство цепочки Тоды изоморфно Of,
Гамильтоново описание цепочки Тоды и представление Лакса для нее основаны
на следующем утверждении.
Теорема Ван-Мербеке (см. [109]).
Уравнения Гамильтона в (см. раздел 1.11)
Кроме того, для' любых двух полиномов и ф соответствующие им функции Нф и
Ну на $*, определенные формулой (4.2.25), находятся в инволюции по
отношению к стандартной скобке Пуассона на SS*.
В действительности эта теорема является частным рлучаем теоремы 1.12.2.
Мы приведем здесь доказательство в несколько ином виде.
Доказательство. Вычисление градиента функции Н^ дает
Но, так как матрица М кососимметрична, a L симметрична, то их коммутатор
является симметрической матрицей: [L, М\s = [L, М], так что первая часть
теоремы доказана. Далее, используя уравнение (4.2.26) для М = Му, мы
имеем
в силу соотношения =0. Это завершает доказательство теоремы.
(4.2.24)
я=Ха)=1г^),
(4.2.25)
эквивалентны уравнению Лакса
L=[L,M\,
(4.2.26)
где
Л/=Л#" = /(1)+-/(!)-.
(4.2.27)
v^a)=2*U)W(?)°,
(4.2.28)
где %° означает диагональную часть %. Так как
№),!]= о,
(4.2.29)
то мы можем написать-
L = l\s = -[2 <p'(L)+ + vXL)°, l L
= -[v'(L)+-<p,(L)-,L]s=.[L,M\s.
(4.2.30)
(Я*,Я*> = Я*(1) = <*'(1), [I,Л#]> = W(L),L],M) = 0 (4.2.31)
185
4.3. Явное интегрирование уравнений движения
обычной непериодической цепочки Тоды
Как было показано в разделе 4.1, цепочка Тоды является вполне
интегрируемой гамильтоновой системой. Однако явное интегрирование
уравнений движения таких систем является далеко не простой задачей, и ее
удается осуществить лишь в редких случаях. Здесь мы, следуя [256, 97],
покажем, что к данному случаю можно применить метод проектирования (см.
раздел 1.9, где был исследован простейший случай двух частиц) и
проинтегрировать с его помощью уравнения движения явно. Несколько иным
способом эти результаты были получены в [222, 182].
Идея состоит в рассмотрении геодезического потока на пространстве X = {х}
вещественных симметрических положительно определенных матриц. Так
называемая орисферическая проекция этого потока и дает решение уравнений
движения для цепочки Тоды.
Напомним, что обычная цепочка Тоды описывается гамильтонианом
Н= ~ ? р• + 2 ехр[2Ц--<7/+1)]. (4.3.1)
2 ;'=1 /=1
Уравнения движения такой системы имеют вид
<7у = Ру, Pi = -2ехр[2(<?! - q2)], Р" = 2exp[2(<jf"_1 - qn)\,
(4.3.2)
Р,- = 2exp[2(<jf;-_! - qj)] - 2exp[2(<jfy - qf+1)], 1 < j
< n.
Ниже будет показано, что решение этих уравнений дается следующей
конструкцией [256, 222] .
Пусть а - L (р°, <jf° ) - матрица Якоби, зависящая от начальных (t = 0)
данных р° =р(0) и q° =q(0):
ajk = Pj8fk + ехР(<7/_! - <?/)S/,fc+i +ехр(<7/° - qf+1)&hk_!. (4.3.3)
Образуем матрицу ехр(2дг). Для ее конструктивного построения удобно
привести матрицу а к диагональному виду
и~1аи- Л, а = мЛм-1, (4 3 4)
Л= diag(X,,. .., Х"), 2 Х; = 0.
