Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
/=1
Отметим, что величины X/ являются корнями уравнения степени п
det(X7- а) = 0. (4.3.5)
Знание величин Ху позволяет найти матрицу и с помощью линейных операций,
а именно /-й столбец этой матрицы является нормированным собственным
вектором матрицы а, соответствующим собственному значению Ху.
Итак,
ехр(2д/) = мехр(2Л/)и_1, u_I=u'. (43.6)
Пусть Ду - нижний правый угловой минор порядка у матрицы ехр(2дг).
184
Предложение 4.3.1. Решение уравнений движения (4.3.2) дается формулой
? \ ^ 1 Ал -fc+l(0 о -j\
Як (0 = <7fc(0) + - In ------- • (4.3.7)
2 Ап-kV)
Прежде чем переходить к доказательству этого предложения, рассмотрим
простейшие свойства пространства X - пространства вещественных
симметрических положительно определенных матриц.
Пространство X является однородным - на нем транзитивно действует группа
G = SL(n, Ш) - группа вещественных унимодулярных матриц порядка п:
g: x^gxg', хеХ, g&G. (4.3.8)
Здесь g' - матрица, транспонированная матрице g.
Пусть Z = { z } - подгруппа верхних треугольных матриц с единицами на
главной диагонали, а Я - подгруппа диагональных матриц в G. Тогда любую
матрицу х € X можно представить в виде
x = z(x)h2(x)z'(x), h&H, z&Z. (4.3.9)
Причем это разложение (так называемое разложение Гаусса) однозначно.
Таким образом, пара матриц А(х), z(x) задает систему координат на X,
называемую орисферической системой. В частности, для группы SL(2, [R),
локально изоморфной группе SO(2, 1), эта система координат совпадает с
орисферической системой координат exp <jf(x), z(x) на гиперболоиде.
Координата й(х) называется орисферической проекцией точки х.
Отметим также, что касательное пространство ТХ к Л' в единице х0=1
совпадает с пространством симметрических матриц. Поэтому мы можем
рассматривать вместо диагональных матриц h(x) соответствующие
диагональные матрицы q(х)Е ТХ, h(x)= exp<jf(x).
Орисферическая проекция может быть легко найдена для любой матрицы х € X.
Для этого рассмотрим ее нижние угловые миноры Д/(х) порядка /. Из вида
представления (4.3.9) следует, что *)
А?(х) =- - . Д0 = 1, A(x) = diag(Ai,... ,hn). (4.3.10)
дп-у
Пространство X допускает лишь одну (с точностью до постоянного множителя)
G-инвариантную риманову метрику
ds2 = tr(x_1 • dx ¦ x~l ¦ dx). (4.3.11)
Движение по геодезическим в такой метрике (геодезический поток)
определяет динамику на кокасательном расслоении Т*Х. Элемент пространства
Т*Х - это.пара матриц (х, у), где х € X, у € ТхХ\ ясно, что как
касательное, так и кокасательное пространство в точке х можно
отождествить с пространством всех симметрических матриц у,
удовлетворяющих условию trx"!y = 0 (как следствие условия detx = 1);
спаривание между касательным и кокасательным векторами дается метрикой
(4.3.11).
*) Доказательство этого утверждения можно найти, например, в [15].
187
Пространство Т*Х является симплектическим многообразием со стандартной 2-
формой
1 1 , '
со = - - ti(dy hd(x )) = - ti(x dy A x ¦ dx), (4.3.12)
причем эта форма инвариантна относительно действия группы G на Т'Х (см.
раздел 3.7):
g-.x^gxg', y^-gyg'. (4.3.13)
Заметим, что форма со является точной,
со = йв, (4.3.14)
где
6 = -tt(yd(x~l)) = tt(yx~l ¦ dx-x~l). (4.3.15)
Зададим на Т*Х функцию Н (х, у) - гамильтониан. Это определяет
гамильтонов поток на Т*Х:
d ЬН d л ЬН
- у= -. - (х-1) =---------------------------------- (4.3.16)
dt д(х) dt Эу
. Здесь ЪН/Ъу - матрица, определяемая равенством
ън\ /ън\
*1 ¦ ;4-зл7) Из уравнения (4.3.11) следует, что геодезический поток на
Т*Х задается гамильтонианом
1
Н= - tr(ух~1ух ). (4.3.18)
Очевидно, что этот гамильтониан инвариантен относительно преобразований
(4.3.13), а уравнения движения имеют вид
х=у, у = ух~1у. (4.3.19)
Нетрудно видеть, что эта система эквивалентна уравнению
d
- {хх~1)=0. (4.3.20)
Его решения определяют геодезические в пространстве X и имеют простой вид
x(t) = bexp(2at)b'. (4.3.21)
Здесь Ь € G = SL(h, [R), а € ТеХ (Те X - касательное пространство в точке
е =1 - единичная матрица), а' = а, tra = 0.
Из (4.3.19) следует, что интегралами движения являются величины
1 , *.
1к = тЪ(.УХ~1) , к = 2,...,п. (4.3.22)
к
(
188
Все они находятся в инволюции и функционально независимы.
Теперь мы можем перейти к доказательству предложения 4.3.1, которое
сформулируем в эквивалентной форме.
Предложение 4.3.2. После орисферической проекции
х(т)->- *(/) = expQ(x(0) (4.3.23)
геодезического потока (4.3.21) мы получаем задачу о движении цепочки
Тоды.
Доказательство. Пусть x(t) - геодезическая в пространстве Xиh(г)
=ехрQ(t),z(t) - орисферические координатых(г):
*(0= z(f) exp (2Q (t))z'(t). (4.3.24)
Вычисляя величину хх~г, получаем
xx~l = z{z~l z + 2 Р + ехр (20 z' (z')_l exp (-20} z~l,
P = Q, P = diag (pj,..., p"). (4.3.25)
Введем обозначения
M = z-1 z, M = exp (2Q)M ' exp (-2Q), (4.3.26)
1 1 ~
L = P+-M+-M. (4.3.27)
2 2
Здесь M (соответственно M) является строго верхней (соответственно
нижней) треугольной матрицей. Мы имеем
хх~1 = 2zL z~l. (4.3.28)
