Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
обычной цепочки Тоды типа Ап и А2п-\ соответственно, где положения частиц
симметричны относительно начала координат.
Приведем также пары Лакса для цепочек Тоды типа Ап_ i, Вп, С", Dn, G2.
Обозначим а;- = eqi~qi+1:
4
-(Ч4-Ч1-Ча-Чз)
-si(И. R)):
Вп ($= so (и, п + 1)):
Pi ^1
О
\
L =
1 Рп ап 0 -ап
О
ап Рп
-а 1 -pi
/
Л/ =
197
C"(3 = sp(2n, IR)):
О ах
М =
L =
-а 1
ft 3 1 ~ап 0
-в-п- 1 0 0 ап
ап 0 0. к 3 1
1 & 3 ап- 1
~ai 0
~а1 ~Р 1 ~а2
-а2 ~Рг -*J~2ai -s/2а\ О
\p2oi
-а,
v/Tai
Р2
а2
а2
Pi Hi al Pi+P2
M =
a i О
а2
О
-a2 и s/2a i
-s/2oi О
sf2ai
-s/2al
О
a2
-a2
О
ai
2. Орбитная интерпретация обобщенных цепочек Тоды. Мы уже отмечали
ранее, что существует общая ли-алгебраическая конструкция, связывающая
обычную цепочку Тоды с группой Ли SL(", 1R) (см. теорему 4.2.1 и теорему
1.12.2). Та же конструкция работает также и для обобщенных цепочек Тоды,
связанных с вещественными простыми расщепимыми группами Ли.
Пусть, как и выше, - вещественная простая расщепимая алгебра Ли, в -
автоморфизм Картана алгебры & и
# = X + S5
(4.5.13)
199
- соответствующее разложение Картана алгебры 8. Фиксируем картанов-скую
алгебру"4в 5йи выберем корневые векторы Еа, a G R таким образом, что вЕа
=-Е_а. Тогда компактная подалгебра X в & натянута на элементы Еа-Е_а, а
''симметрическое" подпространство & натянуто на элементы Еа + Е_ , a G R+
и Л ¦ Соответствующая подгруппа К является максимальной компактной
подгруппой в G. Пусть 36 - нилыютентная подалгебра в $, натянутая на Еа,
a G R+ и Z - соответствующая подгруппа. Тогда имеет место разложение
Ивасавы
&=Х+А + 26 = Х+ S3, 33=Л+ 26, (4.5.14)
G = КА Z = КВ, В = AZ, (4.5.15)
где А - картановская подгруппа, а В - борелевская подгруппа в G.
Применим теперь теорему 1.12.2 к разложению &=Х+33. Как обычно,
пространство 8* можно отождествить с с помощью формы Киллинга, так что b*
отождествляется с SP:
Э>* ~ X1 = &. (4.5.16)
Напомним, что скобка Ли-Пуассона на 9>* имеет вид { xh хк }= 2СДдг,
(4.5.17)
для линейных координатных функций х,-, где Cjk - структурные постоянные
алгебры &. Теорема 1.12.2 теперь переходит в Теорему 4.5.2.
а) Инвариантные функции на &, ограниченные на 9*- S3*, находятся в
инволюции по отношению к скобке Пуассона на S3*.
б) Если F - инвариантная функция, то соответствующие уравнения Гамильтона
на^можно переписать в форме Лакса
L= [L,MX\ = [L,Ma], (4.5.18)
где Мх (=Хи Мдз€Е S3 определяются формулой
VF(-L)= Мх-М". (4.5.19)
Для того чтобы получить обобщенную цепочку Тоды из теоремы 4.5.2, мы
должны фиксировать орбиту группы В в S3*. Напомним, что Е±,- = Е±а.у aHj
определены формулой (45.11).
Т е о р е м а 4.5.3. Элементы
L = ? Ь/ Hj + ? а,- (Ej + E_f), (4.5.20)
где - 00 < bj < ">, 0 < dj < °°, / = 1, ...,/(/ = dim"4)
заметают орбиту О
группы В в S3*- Скобка Ли-Пуассона на О дается при этом формулой
{bh ак}= Ь]как, {а;,ак} =0, {bfbk} = 0. (4.5.21)
Переходя от переменных bj, ак к переменным Pj, qk согласно
формуле
(4.5.8), мы можем отождествить фазовое пространство обобщенной цепоч-
200
ки Тоды с орбитой коприсоединенного представления группы В, проходящей
через точку д= Z(?) + E_j). Далее, из (45.7), (4.5.10) мы видим, /
что гамильтониан цепочки Тоды Н = Vi{L, L) И инварианты L являются
интегралами движения, находящимися в инволюции. Нетрудно видеть, что
среди этих интегралов имеется / = Vi dim О функционально независимых на
орбите. Действительно, инварианты алгебры $, ограниченные на картановскую
подалгебру Л , дают I функционально независимых полиномов на Л(зю следует
из теоремы Шевалле).
Эти . I полиномов остаются независимыми на подмножестве Л + + 2 а/ (Ej +
E_j) для случая достаточно малых положительных я,-, и следовательно, они
независимы на О. Это показывает, что обобщенные цепочки Тоды являются
вполне интегрируемыми.
3. Обобщенные цепочки Тоды как редуцированные системы. В полной
аналогии с разделами 4.3 и 4.4 можно показать, что цепочка Тоды,
связанная с простой алгеброй Ли S&, получается путем редукции
геодезического потока на симметрическом пространстве X = G/К по отношению
действия нильпотентной группы Z. Напомним, что дуальное пространство J(c)*
можно отождествить с & из (4.5.16^ и что имеется естественная
проекция^(c)*-"95*. Мы можем отождествить 95 с ортогональным дополнением к
Л в натянутым на (Еа + Е_а), a G R+.
Теорема 45.4.
а) Приведенное пространство Т*Х по отношению к действию Z для момента
д вида
б) Редукция переводит геодезический поток на ТЩХ в гамильтонов поток
для цепочки Тоды на Од. В частности, риманова метрика на X переходит в
гамильтониан цепочки Тоды.
Опишем схему редукции более детально (она здесь несколько отличается от
рассмотрения в разделе 4.4). Мы должны сначала определить отображение
момента для действия Z на Т*Х. Введем сокращенное обозначение
где в - это инволюция Картана в G. Симметрическое пространство X можно
вложить в G как вполне геодезическое подмногообразие, X = ехр^ состоящее
