Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
IR) и ее треугольными подалгебрами. Возникает вопрос: нельзя ли связать
аналогичные системы с другими простыми алгебрами Ли? Положительный ответ
на этот вопрос был дан в работе Богоявленского [125], где было показано,
как можно построить интегрируемую систему типа Тоды по системе корней
простой алгебры Ли или эквивалентно по соответствующей схеме Дынкина.
Дальнейший прогресс в этом направлении достигнут в работах [222,
223,102,256,110, 111].
1. Определения и представление Лакса. Пусть q = (q i, . . . , qn) и p
= - (.Pi, ¦ ¦ ¦ , P") являются векторами координаты и импульса в л-мерном
евклидовом пространстве. Пусть tti а, - набор из I векторов в Ш".
Нас будет интересовать гамильтонова система с экспоненциальным
взаимодействием:
ное произведение ак и q. Заметим, что для I <л можно положить gi = ...
... = g; = 1,используя сдвиги qj q/ + Of.
Если ai а, - произвольный набор векторов в CR", то о таких
гамильтоновых системах мало что можно сказать. Если же а, -
набор простых корней простой алгебры Ли, то почти все результаты
предыдущих разделов (при необходимости несколько модифицированные)
остаются справедливыми. В частности, рассматриваемые системы являются
вполне интегрируемыми и обладают представлением Лакса.
Приведем детали этой конструкции. Всю необходимую информацию о простых
алгебрах Ли можно найти в монографии [7].
Пусть 3 - простая вещественная расщепимая алгебра Ли, Л - ее подалгебра
Картана, R - соответствующая система корней, R+ - множество положительных
корней и {ai, . . . , а,} СR+ - множество простых корней. ВыберемЕа a GR
так, что
Для краткости положим Е±к = Е±ак. Взяв ортонормированный базис F1, . . .
, F; в А относительно формы Киллинга ( , ), можем отождест-
вить с CR/. Коммутационные соотношения для Fj и Ек имеют вид
1 " ' _ V "2 . у
где gk, к = 1, . .., / -некоторые константы, а (afc, q) = 2 alq. -
скаляр-
- 1 '
/ =i
[Н,Еа] = (а,Н)Еа, Н&Л.
(4.5.2)
[Fj,Ek] = ±а[Ек.
[Ej, Е_к] = blkg\ 2 a* Fs, a? = (afc, Fj),
S
(4.5.3)
194
где
g\ = (Ек,Е_к). (4.5.4)
Теорема 4.5.1. Обобщенная цепочка Тоды с гамильтонианом
Н= - % Pi + ^ g\ exp [2 (afc, <jr)J (4.5.5)
2 fc = 1 K fc = 1
является вполне интегрируемой и соответствующие уравнения движения
допускают представление Лакса со значениями в 8 : L = [L, М ], где
L = к PkFk + ? е("ь <?)(?¦ +
fc = 1 *=i
i (4.5.6)
Л/ = 2 e("fc'<7) (Ек-Е_к).
fc = 1.
Ясно, что любое линейное представление алгебры $ превращает пару Лакса
(4.5.5) - (45.6) в матричнозначную пару Лакса.
Как обычно, инварианты элемента L, такие как tr(7r(Z,)fc) для любого
линейного представления тт алгебры S?, являются интегралами движения для
уравнения Лакса. В частности,
Н = -(L, L). (4.5.7)
2
Ниже мы покажем, что эти инварианты находятся в инволюции.
Гамильтониан (4.5.5) является прямым обобщением гамильтониана
(4.1.1). Используя переменные ак, Ъ-}, аналогичные переменным (4.1.23),
его можно также интерпретировать как обобщение- (4.1.25). В самом
деле, пусть 01, . . . , 0, - базис, дуальный к базису <*i.........a,:
(fij, ак) =
= 8)к. Определим новые переменные
ак = ехр(ак, q), bf= (fy, р). (4.5.8)
Скобки Пуассона этих переменных даются формулой
{Ь,-,ак}= 8,-как> (4.5.9)
а гамильтониан (4,5.5) принимает вид
н = " 2 (°7> afc) bjbk + Zg2ka]:. (4.5.10)
L i, fc fc
Полагая
2a,-
(4.5.11)
("/> <*/)
так что [Hf, E±k] = ± CfkE±k, где (c;fc) является матрицей Картана, мы
можем записать представление Лакса в форме, аналогичной (4.1.14) :
L= к bfHj + 2 ак{Ек + Е_к), М = 2 afc (^fc - ^-fc)-
/ = 1 fc = 1 fc=i
(4.5.12) 195
Приведем список гамильтонианов обобщенных цепочек Тоды, соответствующих
простым алгебрам Ли. При этом мы положим gk - 1, тогда
1 и
Ап_,: Н= - 2 pj + eqi~q2 + . .. + еЧп~
2 j = l '
1 "
5": Я = - Ъ pj + еЧх 42 + .. . + eq"- l~qn + eqny 2 i = l '
1 и
C": Я = - 2 p? + e4* 41 + ... +e4n~l~ q" + e2q",
2 ) = i '
1 и
Z)_: Я = - 2 p. + g^i-92 + - in + g4n-i + <?n
2 / = i ' "
1 a
G2:H = - 2 p^ + e91-^ + e_2<Jl + 42 + ,3,
2 / = l '
l
1 4 -(Q4-4i-4i-43\
Fa\ H= - 2 p. + e4* 42 + e^1 ,3 + e^3 +e
2/=i '
1 8 ,
_ E6: H= - 2 p2 + + e,3-<73 + e43"^ +
2 j = l ;
l
- (-<?! + <J2 + • • • + <?7 ""J")
+ eq*~qs + + e
1 8 , ~
Я7: Я = - 2 p?+ e4* ,3 e^3 ,6 +
2 / = l ; j
--(-<?! + <J2 + • • • + <?7 -<?")
+ e-(<J.+<?2) + e 2 1 8
Ea: H = - 2 p? + e<7l_<7j + . .. + eq'~q2 +
2 i=i 1
-(-<?, + <r2 + • • • + я7-я,)
+ е-(.Я1+Я>) + e2 .
Замечания.
1. Гамильтонианы типа Л"_1, G2, Я6 и Е1у приведенные вьппе, содержат
большее число степеней свободы, чем ранг соответствующей системы корней,
поскольку эти корневые системы удобно описывать в расширенном евклидовом
пространстве (см. [7]). Такие корневые системы выде-ляются следующими
линейными условиями:
для A"_t и G2, q7 +qa =0, для Ely
для Е6.
hq. = 0 для Ely q6 =qn = -qa, i
196
2. Гамильтониан типа DA можно переписать в эквивалентном, но более
симметричном виде:
Н = - 2 р? + eq1 + еч1 + еq* + е 2 / = 1
3. Системы Тоды типа Вп и С" можно рассматривать как подсистемы
