Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
так что при г ^ п будем иметь An+r = —А,.. Ни один из корней A1, A2, . . ., Xn не равен нулю, и среди них нет также двух одинаковых или двух равных по величине, но противоположных по знаку.
Существуют 2п линейно независимых собственных векторов сг, сп+г (г = 1. 2.....п) таких, что
SCr = — XrZcr, Sc„+r = XrZc,l+r (25.10.18)
а также
А Cr = ZSCr = XrCr, Acn+,. -= ZScn+r = - Xre,^r- (25.10.19)
526
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[Гл. XXV
Обозначим через Ti матрицу размером тхт с элементами Ъц:
bu = c'iScj. (25.10.20)
Тогда, если г^.п и п, то
brs = CrSc3= — X3CxZc3. (25.10.21)
С другой стороны,
Ъгз = c'sScr = - Kc'sZCr = %.rc'TZc3, (25.10.22)
и так как ХТ Ф — X3, то br3 = 0. Точно так же можно показать, что bn+T, n+s = 0. Далее,
br, n+s =1 CxScn+3 = X3CxZcn+3 = Сц-\-г$Сг =2 XrCu^3Zc7 =: XrCyZcn+3. (25.10.23)
Отсюда видно, что если г фз, то br, п+3 = 0. Точно так же, если г фв, то bn+T,3 = 0 и так далее, поскольку матрица Z — кососимметрическая и
, Ъп+Т, 3 = -Ъа, п+т. (25.10.24)
Обозначим через К матрицу (C1, с2, . . ., ст), а через С — матрицу К'ZK. Элемент Cij матрицы С равен
CiJ = C[Zc3, (25.10.25)
откуда следует, что матрица С — кососимметрическая. В самом деле,
/ 0 1)\
C = \-D 0 ]' (25.10.26) где D — диагональная матрица размером п X п:
d2
(25.10.27)
dr = c'rZcn+r. (25.10.28)
Умножим теперь сг (или сп+г, или каждый из них) на подходящим образом выбранный (комплексный) скалярный множитель так, чтобы получить dr = 1. Если проделать эту процедуру для всех значений г из последовательности 1,2, . . ., п, то получим С = Z, и матрица К будет удовлетворять условию симплектичности (25.10.10).
Кроме того, имеем
KSK = U, (25.10.29)
где матрица E имеет элементы вида
et і = c'tScj = — XjC'iZcj (25.10.30)
и, следовательно, представляет собой симметрическую матрицу
(25.10.31)
Таким образом, матрица К обладает требуемыми свойствами (25.10.10) и (25.10.11); преобразование х = Ky является контактным, а новая функция Гамильтона
Н* = у'К'SKy (25.10.32)
имеет желаемую форму (25.10.7).
§ 25.10] ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА - ОДНОРОДНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 527
Вернемся к уравнению / (X) = 0. Поскольку коэффициенты полинома / (X) вещественны, его корни являются комплексно-сопряженными. Если собственное значение Xu (к ^ п) не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то существует собственное значение Xi (где I = I (к) ^ п) такое, что Xi = XR. Далее,
(A-XkIm)ch = 0, (25.10.33)
откуда
(А - XhIm) ~ch = (А - X1In) си = 0, (25.10.34)
и так как матрица (А—Xilm) имеет ранг (т—1), то сг отличается от Ck лишь скалярным множителем:
C1 = PuCu. (25.10.35)
Аналогичным образом получаем, что
C11 = P1C1 (25.10.36)
и PiPh = 1- При желании можно нормировать собственные векторы (умножением на подходящие скалярные множители) таким образом, чтобы выполнялись равенства | ph | = | рг | = 1, но это не всегда целесообразно делать. Решение для у дается формулами
уг = Агек'\ г = \,2,...,т, (25.10.37)
и, следовательно,
т т
X = Ky= S УгСг= S 4гА'ег. (25.10.38)
г= 1 г—і
Слагаемые
V*'ek4-V''ei, (25.10.39)
входящие в выражение (25.10.38) для х, дают в сумме вещественное число,, если
Au = PuA1. (25.10.40)
Если одно из собственных значений Xh (к ^ п) есть чисто мнимое число i\x, где ц. вещественно, то Xn+U = —и сп+и отличается от C]1 только скалярным множителем. Если при этом выбрать сп+н равным са, то c^Zcn+h будет чисто мнимым. Если одно из собственных значений Xu (к п) вещественно, то Xn+U также будет вещественным, и мы можем выбрать соответствующие собственные значения вещественными. При таком выборе сумма соответствующих слагаемых в выражении (25.10.38) для х будет вещественной, если вещественны коэффициенты Ah и An+U-
Пример 25.10. В качестве примера рассмотрим случай, когда п = 3, а матрица S имеет вид
1
0 0 10 0
0
—10 0 0 0
0
0 10 0 0
1
0 0 2 0 0
0
0 0 0 0 1
0
0 0 0 1 0
.528
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Гл. XXV
Собственные значения определяются из уравнения
(а2 + 1) (A,» + 1) = о
и, стало быть, располагаются на единичной окружности в комплексной Я-плоскости (рис. 106).
Матрица (с4, C2, ваны, имеет вид
Рис. 106.
с6), собственные векторы которой не нормиро-
0
о
(1 + 0 0 0 (1-і) О (1 + І) (1-0 О
(1-0(1 + 0 о 0 0-1
\Г2 ]/~2 0
і У2 —і\Ґ2 0
Для таких векторов имеем
Ct1 = C1ZCi= —2i, Cl2 = c'2Zca = 4 )/2(1 + 0, d3 = c'3Zce = 4V2{l — i).
Умножая на подходящим образом выбранные скалярные множители, получаем di = d2=-d3= 1, после чего матрицу К можно записать в виде
0
-1 0 0
-(1 + 0 -(1-0 -(1-0 -(1 + 0 О
iV2
О
-і У"2
К
1-і 0 0
0 V'2 V2
0 — і/2 iV~2
1 0 0
О (1-0 (1 + 0
о (1+0 (1-0
(1-0/2 0
0 -(1+0/8
0 -(1-0/8
1/2 0
0 j/2/8
0 і V 2/8
0
-(1-0/8
-(1 + 0/8 0
кА2/8 -г V2/8 .
Глава XXVI ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
