Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
записанная в переменных q, р. Для этого уравнения
Рг~ (26.2.8)
нужно разрешить относительно со (см. § 10.13). Время и переменные q фиксированы в концевых точках, а переменные р свободны. Таким образом,
*) Доказательство теоремы см. также в работе: G. Н. Livens, On Hamilton's Principle and the Modified Function in Analytical Dynamics, Proc. Royal. Soc. Edinburgh, XXXIX, 1919, стр. 113.
§ 26.3]
ТОЧКИ МИНИМУМА И СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ
533
мы имеем задачу в пространстве переменных t, qi, q2, . ¦ ., qn, Pi, Р2, ¦ • •> Pn со свободными концевыми точками. Но условия на концах не вносят ничего
нового, поскольку подынтегральная функция не содержит рт.
Уравнения Эйлера — Лагранжа, выражающие необходимые условия стационарности функционала (26.2.6), представляют собой не что иное, как уравнения Гамильтона
^ = ^Ь Р'=-Ж> '=1.2,...,». (26.2.9)
§ 26.3. Точки минимума и седловые точки. Рассмотрим голономную систему с п степенями свободы. Движение системы характеризуется тем, что траектория q = q (t)
в пространстве t, Q1, д2, . . ., дп доставляет стационарное значение интегралу J L dt
по сравнению с его значениями на соседних кривых q = q (t) + oq {t), соединяющих те же концевые точки. Соответствующее движение в пространстве переменных t, ди д2, . . . . . ., дп, pi, р2, . . ., рп происходит вдоль кривой q = q (t), р = р (t), которая доставляет
стационарное значение интегралу J (—H + ^PrQr) dt по сравнению с его значениями
на соседних кривых q = q (t) + Sq (t), p = p (t) + bp (t) при фиксированных концевых значениях переменных t и д и свободных концевых значениях р. Оба указанных интеграла имеют, разумеется, одинаковые значения для действительного движения в каждом частном случае. Однако, как указывал в свое время Гильберт, в то время как первый интеграл может достигать минимума, второй интеграл для той же задачи может не иметь ни максимума, ни минимума.
Для иллюстрации этого утверждения достаточно рассмотреть простой пример прямолинейного движения частицы единичной массы в однородном поле g. Перемещение частицы за время t равно
x=ut+Jgfi. (26.3.1)
1
Пусть в момент t = 0 х = 0, а в момент t = Q х= кЭ + =- g92. То, что интеграл Є
С # 1 .
1 L dt, где L = _2~ х2 + gx, для действительного движения будет иметь минимум, можно о
легко доказать, если воспользоваться основным достаточным условием, известным из вариационного исчисления. Однако проще дать непосредственное доказательство. Сравним действительное движение, описываемое уравнением (26.3.1), с соседним движением, для которого
x = ut+J gfi + a{t), (26.3.2)
где a (t) g C2 и а (0) = а (9) = 0. Для этого варьированного движения имеем в 6
7 + 67= j (у*2 + Sx) *=j {4~(" + ^+«)2+ g [ut + -J-gfi+a\\ dt. (26.3.3) 00 Следовательно,
G ЄЄ
6/= j |-|-а2 + (и + гг)а + ?а| dt= j yc^di+^ + gi) а |jj= ( -J-ctf dt (26.3.4)
о ob
(так как а (0) = a (Q) = 0). Таким образом, 67 > 0, если только a (t) не равно тождест-
в
венно нулю. Движение (26.3.1) доставляет минимум интегралу j L dt по сравнению с его
0
значениями для всех других движений с теми же концевыми точками в д-пространстве и с теми же начальным и конечным моментами времени.
6
Рассмотрим теперь интеграл ^ (— H+*^j ргдг^ dt вдоль кривой в пространстве
о
1
t, q, р. В нашем случае H = — p%—gx, и интеграл, который надлежит рассмотреть,
534
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
[Гл. XXVI
равен
е
(26.3.5)
u
и берется вдоль кривой в пространстве t, х, р. Запишем интеграл в форме
Є
Z=J {—(р—я)а + -2 я"2 + ?*} <«. (26.3.6)
о
В действительном движении
1
x = ut+— gfi, p = u + gt. (26.3.7)
В варьированном движении, для которого
x=-ut + -Lgt* + a{t), P = u + gt+$(t), (26.3.8)
где a(t) обращается в нуль при t = 0 и i = 0, а ? (t) в эти моменты времени не обязательно равно нулю, имеем
Є
б/= j у{ — (?-a)2 + a2}(ft. (26.3.9)
о
Таким образом, б/ < 0, если ? Ф 0, а == 0, и б/ > 0, если ? = а и а 0. Интеграл / при функции (26.3.7) имеет стационарное значение, но это значение не является ни максимумом, ни минимумом.
§ 26.4. Асинхронное варьирование. Принцип Гёльдера *). В принципе Гамильтона операция варьирования производилась для одного и того же момента времени: точке P (в ^-пространстве) на действительной траектории в момент t ставилась в соответствие точка P' на варьированной траектории соответствующая тому же самому моменту времени. Это было возможно, так как в принципе Гамильтона задаются не только концевые точки, но и соответствующие им моменты времени, так что движение по исходному и варьированному путям совершается за одно и то же время. Теперь мы рассмотрим случай, когда точке q на исходной траектории, соответствующей положению системы в момент t, ставится в соответствие точка q + bq на варьированной траектории, характеризующей положение системы в момент t + dt. Будем предполагать, что вариации Og1, 6д2, • . ., bqn, Ot являются функциями времени, принадлежащими к классу C2-
