Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 235

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 229 230 231 232 233 234 < 235 > 236 237 238 239 240 241 .. 290 >> Следующая


Читатель, без сомнения, заметит тесную аналогию между доказанными леммами и двумя частями теоремы эквивалентности (§ 16.3). Приводимое ниже доказательство теоремы Якоби по существу мало отличается от доказательства, данного в § 25.1, различие между ними заключается лишь в деталях.

Перейдем теперь к доказательству теоремы Якоби. Переменные qi, q2, ¦ . ., qn, Pu P2i ¦ ¦ ¦i Рп, определяемые соотношениями (25.4.2), удовлетворяют уравнениям Гамильтона (25.4.6). Перейдем в них кновым переменным Qt, Q2, . . ., Qn, Pi, P2, . . ., Pn с помощью контактного преобразования (25.4.1). Выразим функцию И7 через Y и t:

W {q; Q;t) = F (у; t). (25.4.11)

Тогда для і, принимающих любое из значений 1, 2, . . ., Zn, будем иметь

fsff + ^f = Pf^_prf (25.4Л2)

дУі dqT dyt ^ dQr ду, ^r dyt dyt '

и

^_9W_dqr_,3W_dQr_,dW_ dqr dQr dW

dt - dqr dt + dQr dt "+" dt ~Pr dt Ут dt + дТ-Функция F ? C2, и, следовательно,

d2F d*F ,„...,

S 25.4]

ДРУГИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ

515

Из (25.4.12) и (25.4.13) получаем

д_ I dqr „ dQr\_ d dqr р OQ^ _, W

dt

\Рт~д^-Рті 9Vt V dt dt + dt )¦ {гьлль)

Таким образом,

dQr дРг дРт dQr dqT apr dpr dqT дШ

I

dt dyt dt Oy1 dt dyt dt dyt dyt dt

^^M^^dtdWy___dG

dpr dyi ^ dqr dyt ^ dyL dt dyt \ dt ) dyt K '

dW

где G обозначает сумму H -\- ^ , выраженную через у и t. Если через \[t, yt]] обозначить скобки Лагранжа для (Q; Р), то будем иметь

¦J^L= [[*, T1]]. (25.4.17)

Отсюда, в соответствии с леммой 2, заключаем, что переменные Qi, Q2, Qn, Pt, Р2< •¦•i Pn удовлетворяют уравнениям Гамильтона

dQr dH* dPr дН* . „ ,к , ло,

-аг-Ж' -дГ = —Зо7' г=1'2' ••"(25-4Л8)

dW

где Н* обозначает сумму H + -^- , записанную в переменных Q, P и t. Теорема Якоби,

таким образом, доказана.

Аналогично проводится доказательство и в других случаях. Допустим, например, что между переменными q, P и t нет никаких тождественных соотношений, и возьмем контактное преобразование с производящей функцией U (q; Р; t), определяемое уравнения-

g%p d%F

ми (24.3.9). Если U (q; Р; t) = F (у; t), то уравнения ———= -—— приведут к формуете дуг оу iot

лам (25.4.17), откуда и следует утверждение теоремы.

Третье доказательство теоремы Якоби. Мы видели в § 22.1, что уравнения Гамильтона могут быть записаны в форме

X = ZHx, (25.4.19)

где X — матрица-столбец, составленная из элементов xr, a Hx — матрица-столбец, составленная из элементов дН1дхг. Перейдем к новым переменным Xi, X2, . . ., X2n'.

Хт = Фг (ач, х2, . . ., х2п; t), г = 1, 2, . . ., In, (25.4.20)

причем будем считать это преобразование обратимым в некоторой области пространства (х; t). Тогда будем иметь

іи = 7ІГ+ mX, Hx = MKx, (25.4.21)

где через К обозначена функция Гамильтона, выраженная через переменные Xi, X2, . . ., X2n, t:

H (xi, х2, . . ., х2п; I) = К (Xi, X2, . . ., X2n; t). (25.4.22)

Здесь т обозначает матрицу (dxTldXs), a M — матрицу (дХТ/дх$) (см. § 24.13). Таким образом,

X -ZHx = -?- -I- mX - ZM Kx, (25.4.23)

и, следовательно,

M (X-ZHx) = M + X — MZiM'Kx. (25.4.24)

33*

516

ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

[Гл. XXV

В новых переменных уравнения движения запишутся в-форме

дх

It

X = MZM1Kx-M^- (25.4.25)

или

дх

X = MZM' [Kx+ wi'Z—). (25.4.26)

До сих пор мы не делали никаких предположений относительно характера преобразования координат. Теперь мы предположим, что это преобразование является контактным. Для контактного преобразования

MZM' = Z (25.4.27)

и уравнения движения в новых переменных принимают гамильтонову форму

X = ZHb (25.4.28)

дх dt

при условии, что матрица-столбец m'Z — имеет вид Lx. Доказать это

весьма просто. Если временно обозначить Z через и, то указанное условие будет состоять в том, что для всех значений г и s

диі дхі dui дх}

дХ,

или, что то же,

dXs дХг дХг dXs

(25.4.30)

Последнее равенство выполняется в том случае, если матрица m'Zrnt (где nit получается из т дифференцированием каждого элемента частным образом по t) является симметрической, т. е.

m'Zmt = m'tZ'm. (25.4.31)

Так как Z'= — Z, то условие (25.4.31) эквивалентно следующему:

rn'Zmt + m'tZm = 0. (25.4.32)

Это означает, что матрица lu'Zm не зависит от времени, что, несомненно, имеет место в силу (24.13.7). Теорема Якоби, таким образом, доказана.

Рассмотрим преобразование, удовлетворяющее более общему условию, нежели (25.4.27), а именно:

MZM' = KZ, (25.4.33)

где Л —скалярный множитель, отличный от нуля. При этом справедливо равенство

mZm' = Z (25.4.34)

и новые уравнения движения сохраняют, как и прежде, гамильтонову форму (25.4.28). Условие (25.4.33) представляет обобщение условия (25.4.27); поэтому, вообще говоря, целесообразно расширить понятие контактного преобразования и включить в него более широкий класс преобразований, удовлетворяющих условию (25.4.33). Однако мы сохраним это.название за преобразованиями, для которых X = +1.
Предыдущая << 1 .. 229 230 231 232 233 234 < 235 > 236 237 238 239 240 241 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed