Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Обратно, если мы будем исходить из общего преобразования (25.4.20) и будем искать условия, при которых новые уравнения движения (25.4.26) сохраняют форму Гамильтона, то придем к выводу, что преобразование
§ 25.?]
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
517
должно удовлетворять условию (25.4.33). Действительно, правая часть уравнения (25.4.26) должна иметь форму ZHx Для любой функции Гамильтона Н, откуда следует, что такую форму должен иметь каждый член этой части. Отсюда приходим к равенству (25.4.33).
§ 25.5. Постоянство скобок Лагранжа. Если общее решение уравнений Гамильтона для заданной динамической системы имеет вид
qr = qr(yu Y2, у2п; t), 1 (25.5.1)
Рг = фп+г {у и 72, 72п! J
то скобка Лагранжа [yi, yj] сохраняет постоянное значение в течение всего времени движения.
Как мы знаем, эта теорема справедлива, когда параметры у представляют начальные значения переменных q ж р; в самом деле, в этом случае переменные (<?„; Ро) и (q; р) связаны уравнениями контактного преобразования, и мы имеем
kto, qjo) = Ipto, Pjo\ = 0, kio, Pjt>] = oj. (25.5.2)
Отсюда можно получить доказательство и для общего случая. Однако проще воспользоваться билинейным ковариантом (§ 24.8). Как известно, выражение
dqTbpT — dprbqr (25.5.3)
при контактных преобразованиях сохраняется неизменным; в частности, оно остается постоянным во время движения механической системы. Обозначим через d вариацию траектории в фазовом пространстве, обусловленную изменением одного только yt, а через б — вариацию траектории, обусловленную изменением одного только yj. Тогда будем иметь
dqrbpr-dpMr = -Щ^аЬЩ 6VJ-^dVi^dJ7 6Vj =
= І7г' 7j] dytoyj (не суммируется), (25.5.4)
откуда и следует сформулированная выше теорема.
К этому результату можно прийти и из рассуждений § 25.4, касающихся второго способа доказательства теоремы Якоби. Как и в (25.4.3), положим
H (q; р; t) = G (у; t), (25.5.5)
при этом G 6 C2 и
ц- = [*,уі\ (25-5.6) (см. (25.4.4)). Легко убедиться в справедливости тождества
ж ь» у*+тг, & г]=0' (25-5-7)
которое аналогично тождеству Пуассона (§ 22.2). Отсюда получаем Теорема, таким образом, доказана.
§ 25.6. Бесконечно малые контактные преобразования. Уравнения
_дср_
(25.6.1)
Qr-9r = \i-dpr ,
Pr-Pr= -р-щ;,
в которых ц, — малый параметр и ср ? C2, определяют контактное преобразование, если пренебречь членами порядка ц2 (§ 24.5). Расстояние на фазовой плоскости между точками (q; р) и (О; P) является малой величиной порядка ц,. Во всех последующих выкладках величинами порядка ц2 мы будем пренебрегать; поэтому в членах, в которые входит и в качестве множителя,
518
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
ГГл. XXV
можно не делать различия между старыми и новыми переменными, что существенно упрощает вычисления.
Рассмотрим некоторую функцию /.(gb g2, - - -, qn; Рі, Рг, ¦ ¦ -, Рп, t) (или, короче, / (g; р; t)) от переменных q, р и р, пусть она принадлежит к классу C2- Легко указать простую формулу для приращения этой функции при переходе от (g; р;) к (Q; P) при фиксированном t. С точностью до величин порядка ц. имеем
f(Q; Р; t)-f(q; р; t) = (Qr-qr)-%L+(Pr-Pr)df -
dgr ' Vі r ™ dpr -
=*%%-*%%=^'* <25-6-2>
В соответствии со сказанным выше, в выражении р. (/, ср) нет необходимости делать различие между старыми и новыми переменными.
Рассмотрим систему с функцией Гамильтона H (q; р; t) и подвергнем ее бесконечно малому контактному преобразованию (25.6.1). После преобразования система будет иметь функцию Гамильтона H*, равную
H(q; р; t) + ix^- (25.6.3)
и выраженную через (О; Р; t) (§ 25.1). Согласно (25.6.2) будем иметь
#•(<?! Р; t) = H{Q; Р; 0-1*(Я, ф) + р-^- =
= #(<?; Р; 0+L1 {^ + (ф, Я)}. (25.6.4)
Во втором члене правой части этого равенства можно вместо qr, рг написать Qr, Рг, в результате получим требуемое выражение для функции Н* в новых переменных Qr, Рт-
Особый интерес представляет следующий частный случай. Предположим, что функция ф (g; р; t) есть интеграл исходной гамильтоновой системы. Тогда, согласно (22.2.5), выражение
-^+(Ф,Я) (25.6.5)
будет тождественным нулем, и новая функция Гамильтона по форме не будет отличаться от старой; разница будет состоять лишь в том, что вместо старых переменных мы будем иметь соответствующие новые переменные. Поэтому в рассматриваемом случае семейство траекторий в пространстве (Q, P) не отличается от семейства траекторий в пространстве (д, р). Преобразование переводит всякую траекторию системы в другую (близкую) траекторию. В этом случае говорят, что система допускает преобразование.
Можно дать новое, весьма изящное доказательство теоремы Пуассона (§ 22.3). Возьмем в качестве функции ф известный интеграл исходной системы Гамильтона, при этом семейство траекторий в фазовом пространстве преобразуется само в себя, т. е. каждая траектория преобразуется в другую, близкую траекторию системы. Если ip (g; р; t) есть другой интеграл уравнений Гамильтона, то приращение его при контактном преобразовании (т. е. разность ip (Q; Р; t) — ip (g; р; t)) будет равно ц (гр, ф); эта последняя величина остается постоянной, поскольку преобразованная траектория является одновременно траекторией исходной системы. Таким образом, (гр, ф) является функцией от (g; р; t), которая сохраняет постоянное значение вдоль траекторий гамильтоновой системы, иными словами, если ф и гр — известные интегралы уравнений Гамильтона, то (гр, ср) также будет интегралом этих уравнений, и теорема Пуассона, таким образом, доказана.
