Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
В более общих задачах о движении планет функция К* задается рядом
К* =m 2 C3 (a) cos Ds, , (25.3.9)
S
где т — малый постоянный параметр, коэффициенты С зависят от а, а функции D8 определяются выражениями
^ = Sv«?i + n«J> (25.3.10)
где v — целые числа, положительные, отрицательные или равные нулю. Будем предполагать сначала, что ни одно из чисел ns не равно нулю» Вариации параметров а и ? определяются уравнениями (25.2.3).
*) Уравнения (25.3.6) имеют форму, несколько отличающуюся от принятой среди астрономов. Они определяют изменение эллиптических элементов в зависимости от времени и не очень удобны для теории движения планет. Если функцию R представить в форме (25.3.8), то, учитывая, что п зависит от а, будем иметь
То обстоятельство, что в некоторые члены входит множитель t, вызывает определенные трудности. Со способами преодоления этих трудностей в астрономии можно познакомиться в работе: Tisserand, Traite de Mecanique Celeste, Tome I, Ch. XI.
s 25.4]
ДРУГИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ
513
В этой задаче удобно перейти от переменных (а; ?) к переменным (а; ?") посредством контактного преобразования с производящей функцией U (а'; ?):
Уравнения (24.3.3), (24.3.4) принимают при этом вид
dU п. dU
o?r •
да'т
Отсюда получаем
ат ¦= a'r -\-m ^ -^- C8 (а') cos ?>8, s
ai о , 1 дСя(а') • г.
Кроме того,
dU dt
-т 2 Cs («') c«s -Ds.
Новой функцией Гамильтона будет функция
2 {Cs (a)-C8 (а')} cos2)s,
(25.3.11)
(25.3.12)
(25.3.13)
(25.3.14)
(25.3.15)
записанная в переменных а', ?' и ?. Здесь а'г отличаются от аТ (а ?{. — от ?r) на величину порядка т, поэтому новая функция Гамильтона имеет порядок т2.
Если в разложении функции К* содержатся члены с ns = 0, то соответствующие члены в (25.3.11) следует опустить. Кроме того, бывает удобно опустить также и долго-периодические члены, т. е. члены с малыми, но отличными от нуля значениями ns. Важно отметить, что короткопериодические члены порядка т исчезают из выражения функции Гамильтона в результате канонического преобразования.
§ 25.4. Другие доказательства теоремы Якоби. В § 25.1 мы привели доказательство теоремы Якоби об инвариантности формы уравнений движения по отношению к контактным преобразованиям. Это доказательство основывалось на теореме эквивалентности и, возможно, является простейшим. Тем не менее ввиду важности теоремы Якоби мы приведем еще два доказательства ее, каждое из которых представляет самостоятельный интерес. Одно из них связано с рассмотрением производящих функций контактных преобразований (§ 24.2 и § 24.3) и включает в себя некоторые приемы, которые окажутся полезными впоследствии. Другое доказательство основано на использовании симплектического свойства матрицы M (§ 24.13); оно показывает, между прочим, что контактное преобразование не является самым общим преобразованием, при котором уравнения Гамильтона сохраняют свою форму.
Второе доказательство теоремы Якоби. Будем определять контактное преобразование с помощью производящей функции. Для определенности возьмем случай, когда преобразование не связано с какими-либо предварительными тождественными соотношениями между переменными q, Q и t. В этом случае уравнения преобразования записываются в форме (24.2.7) — (24.2.9):
dW dqr
SW
R=-
dW
(25.4.1^
дОг ' "dt Докажем сначала две леммы.
Л о м м а 1. Предположим, что общее решение уравнений Гамильтона имеет вид
яг=чт(Уи Уг, Угп, <)> . „ 1 /0(. . ,..
г ~ 1,2, .... п,\ (25.4./)
Pr=AW(Yi. Y2. ¦ ¦¦> Угп, t), J
33 Л. Л. Парс
514
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[Гл. XXV
где функции ф принадлежат к классу C2 области D пространства (yit Y2, • ¦ ¦> Угп', Пусть, далее,
H (q; р; t) = G (уи у2, . . ., у2п; t). (25.4.3)
Тогда G ? C2 и
dG
^— = [і,Уі], і = 1,2,...,2и. (25.4.4) Доказательство следует немедленно, поскольку
dG_^dH_dq^ +ML MjL^LllL Mjl _ ^L. MjL (25 4 5)
d<7r 6^. ' dp? dyt dt dyt dt dyt ' '
где повторяющийся индекс г означает суммирование от 1 до п. Лемма, таким образом., доказана.
Лемма 2. Обратно, пусть qit q2, . . ., qn; pi, р2, . . ., рп суть 2п независимых функций класса C2 от переменных Yi, у2, . . ., у2п; t. Если существует функция G (yi, Y2, . . ., у2п; пгакая, что
¦Ц:--1*,Уі], 1-1,2, 2п, (25.4.4)
то переменные q и р уаовлетворяют уравнениям Гамильтона
'^2*¦ <25А6>
в которых функция H получается из функции G, если последнюю выразить через q, р и t:
G (у; t) = H(q; р; Г). (25.4.7)
Разрешим уравнения (25.4.2) относительно переменных y, выразив их, таким образом, через q, р и t, и составим функцию H в соответствии с (25.4.7). Тогда будем иметь
je_= ая i^, aff apL (25 4 8>
дУі aqr dyt ~r dpT дУі'
С другой стороны, из (25.4.4) получаем
4^ = %f=__%|=. (25.4.9)
дУі dt dyt dt dyt v '
Сравнивая (25.4.8) и (25.4.9), находим
Всего имеем 2п таких соотношений, по одному для каждого из индексов і; определитель этой системы 2п однородных уравнений не равен нулю, откуда и следует утверждение леммы.
