Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 242

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 236 237 238 239 240 241 < 242 > 243 244 245 246 247 248 .. 290 >> Следующая


ti

в момент ti, однако это движение не доставляет интегралу J L dt стационарного значе-



ния в классе геометрически возможных путей.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся известной теоремой вариационного исчисления. Геометрически возможный путь, удовлетворяющий заданным

ti

граничным условиям и доставляющий, интегралу j L Й стационарное значение при срав-

нении с соседними t0 геометрически возможными путями, должен удовлетворять правилу множителей. Это требует, чтобы * движение описывалось уравнениями Лагранжа,

§ 26.2]

ТЕОРЕМА ЛИВЕНСА

531

составленными по функции Лагранжа

^& + y'* + z2) — \l(zx — y), (26.1.11)

где (X есть функция от t, подлежащая определению. Эти уравнения имеют вид

-^-(x-jiz) = 0, -^-0/ + H) = O, V+JiX = O. (26.1.12)

К ним следует присоединить уравнение связи (26.1.8). Движение, определяемое уравнениями (26.1.9), не удовлетворяет уравнениям (26.1.12) ни при каком ц, откуда следует, что движение системы не удовлетворяет условию (26.1.12), но оно, конечно, удовлетворяет условию (26.1.1).

Интересно доказать непосредственно, не прибегая к правилу множителей, что инте-H

грал I L dt не является стационарным для действительного движения по сравнению

о

с движениями вдоль соседних геометрически возможных путей. Для этой цели рассмотрим геометрически возможный путь, который зададим уравнениями

x = kQ + a(Q), j, = A(chO-l) + ?(e), Z = ^r= ^+а'У ' ЩЛЛ2)

где к обозначает отношение u/w, параметр 9 определяется формулой (26.1.10), а штрих обозначает дифференцирование по 9. Функции а (9) и ? (8) принадлежат к классу C3, и, кроме того, функции а, ?, а', ?' принимают нулевые значения при 8 = 0 и 9 = 9Ь где O1 определяется из уравнения sh O1 = Wt1. В интересующем нас случае функции а



и ?, а также их производные малы. Обозначим через Ы приращение интеграла J L dt

0

при переходе от невозмущенного пути (26.1.9) к варьированному пути (26.1.13). Имеем (і Єї

j Ldt = -=mw j -^(x'z + y'Z + z'^dQ. (26.1.14)

0 0

Если бы интеграл принимал на невозмущенном пути стационарное значение, то линейные члены в выражении для Ы обращались бы в нуль. В действительности же они равны

G1 Єї

ти

й

и j (a'sech9+?' th9)d9-r-m ~ j (— a' ch 9 —а" sh9 + ?")d9 =

Єї

и j (a'sech9 + ?'th9)d9 (26.1.15)

Єї

0

и, вообще говоря, в нуль не обращаются.

Таким образом, мы доказали, что для голономных систем обе формы (26.1.1) и (26.1.2) принципа Гамильтона справедливы. Если же системы неголономны, то принцип Гамильтона выражается только равенством (26.1.1).

§ 26.2. Теорема Ливенса. В этом параграфе мы будем рассматривать только голономные системы. В § 6.3 мы вывели уравнения Лагранжа из принципа Гамильтона. Естественно попытаться вывести аналогичным путем уравнения Гамильтона; такая попытка приводит к весьма интересным результатам. Однако при таком выводе требуется известная осторожность, поскольку вариации величин } и м нельзя считать независимыми. В самом деле, если вариация 6д задана в каждый момент времени, то вариация to определяется уравнениями

бсог = -^б?г, г= 1,2, .,.,и. (26.2.1)

Чтобы преодолеть это затруднение, обратимся вновь к правилу множителей.

34*

532

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ

[Гл. XXVI

Будем характеризовать движение системы перемещением изображающей точки в 2м-мерном пространстве (ди gz, . . ., дп, CO1, со2, . . ., со„). Из условия (26.1.2) следует, что интеграл j L (q; to; t) dt принимает стационарное

значение в семействе кривых, удовлетворяющих п дифференциальным уравнениям

д\ = (йт, г = 1, 2, . . ., п. (26.2.2)

В концевых точках значения переменных д и независимой переменной t фиксированы, а значения со остаются свободными. Поскольку мы рассматриваем лишь такие кривые, которые удовлетворяют уравнениям (26.2.2), а вариации синхронны, можно утверждать, что условия (26.2.1) наверняка удовлетворяются.

Согласно правилу множителей интеграл

j {l(o; со; t) + 2Mgr-o>r)}d* (26.2.3)



(где знак 2 обозначает суммирование от 1 до п) принимает стационарное значение при произвольных вариациях переменных д и со; при этом функции A (t) подлежат определению. Условия стационарности записываются в форме 2п уравнений

-i^ = fr, O = ^-A., (26.2.4)

к которым следует присоединить п уравнений (26.2.2). Разумеется, из этих уравнений можно сразу получить уравнения Лагранжа. Но для нас сейчас важно другое, а именно:

»1

J {l (a; to; 0+ З-ЙГ^-^)}* <26-2-5)



принимает стационарное значение по отношению к произвольным вариациям пути в пространстве (q, со). Но такие вариации эквивалентны произвольным вариациям переменных д и р, и, выражая результат через понятия фазового пространства, можем сформулировать следующую теорему: интеграл

ti

j (-Я+2 P^r) А (26.2.6)



принимает стационарное значение при произвольной вариации переменных д и р. В этом состоит теорема Ливенса *). Символом H под знаком интеграла обозначена функция

2«* ist-*. (26-2-7)
Предыдущая << 1 .. 236 237 238 239 240 241 < 242 > 243 244 245 246 247 248 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed