Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 25.7]
ИНТЕГРАЛЫ В ИНВОЛЮЦИИ
519
§ 25.7. Интегралы в инволюции. Ранее (в § 24.14) было показано, что если мы имеем систему из п функций фг (g; р; t) класса C2, находящихся в инволюции (т. е. таких, что скобка Пуассона любой пары функций тождественно равна нулю), и если якобиан
d(<pi, q>2, <Рп)
д(Рі, Pz, ¦ • •, Pn)
не обращается тождественно в нуль в соответствующей области пространства (q; р; t), то существует контактное преобразование, переводящее (q; р) в (О; P), в котором
Qr = Фг (д; р; t), г = 1, 2, . . ., га. (25.7.1)
Мы видели, что если уравнения (25.7.1) разрешить относительно р и получить соотношения вида
Pr = Ь (g; Q; t), (25.7.2)
то будем иметь
-Jk = -Jk, (25.7.3)
откуда следует, что существует функция W (q; Q; t) такая, что
(25.7.4)
Соответствующее контактное преобразование задается уравнениями
рг = -^-, Рг= ___) г = 1,2, га. (25.7.5)
Выясним теперь, как изменятся эти результаты, если в качестве функций ф взять га интегралов динамической системы с функцией Гамильтона Н. Как известно, в новых переменных {Q; P) уравнения движения имеют гамиль-
SW
тонову форму и характеризуются функцией H*, равной сумме H + — , записанной в переменных Q, P и t. Но Q, будучи интегралами, не изменяются
тт , 9W
при движении, откуда следует, что H -\—-= не может содержать ни одного
Р. Мало того, мы всегда можем выбрать такое контактное преобразование, которому соответствует функция H*, тождественно равная нулю. Отсюда следует, что Р, как и Q, остаются неизменными в процессе движения. Следовательно, если известны п интегралов, находящихся в инволюции, то существуют еще п однозначных интегралов. Совокупность 2га интегралов дает возможность построить полное решение задачи.
Докажем сначала, что функция G {q; Q; t), получающаяся из H (q; р; t) путем исключения рг с помощью (25.7.2), удовлетворяет уравнениям
% + = О' г= 1,2, га. (25.7.6)
Если в правой части (25.7.2) заменить Qr их выражениями (25.7.1), то получим тождественные соотношения относительно переменных (q; р; t); продифференцировав их по qs, ps, t, получим
*Er. + ^|EL = o. (25.7.7)
dqs 1 dQi dqs v '
1?-?- = «;, (25.7.8)
%- +Jc^ = O. (25.7.9)
Поскольку фг являются интегралами уравнений движения, то
^-+(Фі, H) = O. (25.7.10)
520
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[Гл. XXV
Используя соотношение (25.7.9), получаем
дірг _di|)r І д(рі дН dl
dt ~~ dQi \ dqs dps dq
откуда с помощью (25.7.7) и (25.7.8) находим Но, с другой стороны,
<%_dijV 1дщ_дН_ _MLLlL\ /<Ж 7 -Н\
dt - dQt \ dqs dps dqs dps ) ' 1^0./.Ii)
^=--1^-4^--1^. (25.7.12)
dt dps dqs dqr K '
k** + "L?l. (25.7.13)
dqr dqr dps dqr v '
Правые части (25.7.12) и (25.7.13) в силу (25.7.3) отличаются только знаками, откуда следует (25.7.6).
Теперь легко доказать теорему. Из равенств (25.7.3) и (25.7.6) следует, что существует функция W (q; Q', t) такая, что
^ = W G==—dT- (25./.14)
Если теперь совершить контактное преобразование, получаемое из производящей функции W (см. формулы (25.7.5)), то новая функция Гамильтона
Н* будет равна сумме G-\- , записанной в переменных (О; Р; t).
Но согласно (25.7.14) функция Н* тождественно равна нулю, откуда и следует теорема. Функции P от (q; р; "t) образуют п новых интегралов исходных уравнений Гамильтона. Эти интегралы находятся в инволюции (в силу условий для скобок Пуассона, выполняющихся при контактных преобразованиях, см. § 24.9).
Теорему можно представить в несколько иной форме. Разрешим уравнения
Фг (q; р; t) = ат, г = 1, 2, . . ., п, (25.7.15)
относительно р, выразив их в виде
Рг = фг (q; a; t), г = 1, 2, . . ., п. (25.7.16)
Подставив теперь эти выражения для рг в H (q; р; t), образуем функцию
G = G(q; a; t). (25.7.17)
Тогда выражение
yTdqT — Gat (25.7.18)
будет полным дифференциалом dW функции W (q; a; t), а остальные п интегралов гамильтоновой системы определятся формулами
-?r = |^, г =1,2, ...,в. (25.7.19)
Теперь становится очевидной тесная связь доказанной теоремы с теоремой Гамильтона — Якоби. Зная п интегралов в инволюции, мы можем построить функцию W по полному дифференциалу (25.7.18), и так как
dW , „ / SW
dt
H
(g; ™1;*)=0, (25.7.20)
то функция W действительно представляет полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных.
Теорема принимает еще более простой вид, когда функции H и ф не содержат t. В этом случае мы имеем п интегралов в инволюции
Фг (д; р) = а,, г = 1,2, (25.7.21)
где
<pi=3#(g;p), (25.7.22}
§ 25.8]
ТЕОРЕМА ЛИ O СИСТЕМАХ В ИНВОЛЮЦИИ
521
a Cx1 обозначает постоянную энергии. (Интегралы ср2, ф3, . . ., фп*находятся* в инволюции с ф4 = H и, следовательно, друг с другом.) Разрешая уравнения (25.7.21) относительно р, находим
рг =фг (д; а), (25.7.23)'
причем функции tyr равны
^ = "ІГ. (25.7.24).
где K= К(q; а). Функция W равна —а^-\-К, и остальные п интегралов; имеют вид
