Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 13.5]
ШАР НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПЛОСКОСТИ
225
Правую часть этого равенства нужно выразить через три составляющие ускорения, скажем через х, у, q3. Для этого воспользуемся соотношениями
aq2 = x+Qy + Qy, , (13.5.5)
'. 1
Qx. J
аЯі = —у+Qx+ Отсюда получаем
2® = M(x2+y2)+^(x+Qy + Qy)2++^(y'-Qx~Qx)2+Aql (13.5.6)
В этом простом случае @ оказывается зависящей лишь от трех выделенных координат х, у, q3, но в общем случае, как уже отмечалось (§ 12.4), функция @ зависит и от остальных координат и скоростей.
Рассмотрим теперь работу, совершаемую заданными силами на виртуальном перемещении. На этом перемещении
bqi = —byla, Sg2 = bxla. (13.5.7)
Если система действующих на шар внешних сил эквивалентна силе (X, Y, Z), приложенной в центре шара, и паре (P, О. R), то работа этих сил на виртуальном перемещении равна
X Ьг+Y Oy+P Oq^QSq2+ROq3 =
-(х + ?) bx+(Y-^-)oy+ROq3. (13.5.8)
Ясно, что существенным является лишь момент этой системы сил относительно точки соприкосновения шара и плоскости; составляющие этого момента вошли в выражение (13.5.8). Уравнения движения имеют вид
Mx+^f(x + Qy + Qy) = X + ^-, (13.5.9)
My + A2 (у-Qx-Qx) = Y- —, (13.5.10)
Aq3 = R. (13.5.11)
Рассмотрим в качестве примера частный случай, когда плоскость вращается с постоянной угловой скоростью (Q = 0), а система внешних сил, действующих на шар, эквивалентна силе (М\, Mt], MQ, приложенной в центре шара (P = Q = R = 0).
Из (13.5.11) следует, что о>3 = q3 = const, и уравнения движения центра шара записываются в виде
Bx+AQy = Ma4, 1 5>42)
By — AQx = Ma2J), J
где В — А + Ma2 — момент инерции относительно касательной к поверхности шара. Для однородного твердого шара имеем
4 = 4^^. (13.5.13)
Уравнения движения принимают вид
x+Y®y= -1-і,
' і (13.5.14)
2 * 5 І у — -jQx = — ¦n.
15 л. А. Парс
226
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИББСА — АППЕЛЯ
[Гл. XIII
Они совпадают с уравнениями движения частицы единичной массы под дей-
(5 5 \ 2
у |,у ги и 2) гироскопической силы у Q| v I, перпендикулярной к вектору скорости v и пропорциональной I v |.
Рассмотрим случай однородного поля: | = const, и = 0. Если шар тяжелый, а плоскость качения не горизонтальна, а наклонена под углом а к горизонту, то, направляя ось Ox вдоль линии наибольшего наклона, находим, что
\ = g sin а. Полагая х -f- iy = z, получаем уравнения (13.5.14) в виде
z — IXZ = К.
(13.5.15)
Здесь и и Я
X = у Q И Я
иС X/,
вещественные постоянные. 5
== у |. Решение этого уравнения имеет вид
Z - Z0 = ^ (Я + IKW0) (1 - е*««) + А (xZ),
(13.5.16)
Рис. 37.
где Z0 = z(_o, W0 = zi==0 Кривая представляет собой трохоиду, описываемую при качении окружности по линии, перпендикулярной к силовым линиям поля; в случае наклонной вращающейся плоскости эта линия горизонтальна. Значение Z0 несущественно: движение относительно начальной точки зависит только от w0. В частном случае, когда W0 = 0, получаем циклоиду
z — Z0 = р (1 - еш) + ір(кі),
(13.5.17)
где р = —л/х2 (рис. 37). Радиус катящейся окружности равен р, в случае
35 g
наклонной вращающейся плоскости он равен —sin а-
§ 13.6. Шар на вращающейся наклонной плоскости. Пусть плоскость, наклоненная под углом а к горизонту, вращается с постоянной угловой скоростью Q около вертикальной оси, а однородный тяжелый твердый шар массы M и радиуса а катится по ней. В этом случае' k = 3, Z = 2. Поместим начало координат О в точку пересечения плоскости с осью вращения, ось Oy направим вдоль линии наибольшего наклона, ось Oz — перпендикулярно к плоскости, а ось Ox — по горизонтали в плоскости. Тогда будем иметь
Sj = O, G2 = Q sin a, B3 = Q cos а. (13.6.1)
Составляющие ускорения центра шара G с координатами х, у, z будут равны
U = х-2 0/B3 -z62) -X (6224- 02) + O1 (z/82 + z83) (13.6.2)
и аналогично для /2 и /3. В рассматриваемом случае z = a, Q1 = O и наши формулы принимают вид
и = Х-2уЪг-х?Р, Ї
f2 = y+2xQ3-yQl+aQ?3, > (13.6.3)
/3= -2А+ 1/B2B3- 0?.. J
Последняя из формул не содержит составляющих ускорения и потому не представляет сейчас для нас интереса. Теперь можно написать ту часть функции Гиббса, которая зависит от движения центра тяжести шара. Чтобы написать остальную часть, необходимо вычислить Cp1, Cp2 и ср3. Условия качения
§ 13.6]
ШАР НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
227
записываются в виде
a(«B2-0,) = 1, ^ J (1364)
(KO1 = — у. J
Их можно получить, рассматривая относительное движение шара. Если скорость центра шара имеет составляющие u,'v, w, то, рассматривая движение той частицы шара, которая в данный момент касается плоскости, можем написать
U-CZCO2= — уВ3, ^
и+CiW1 = XQ3, I (13.6.5)
W = —xBz. J
Из движения точки касания, т. е. основания перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость, находим
и — aQ2 = x— т/03,
V = у+XQ3, \ (13.6.6)
W= —xQ2.
Условия качения (13.6.4) непосредственно следуют из (13.6.5) и (13.6.6). Таким образом,
