Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
м = г + 6 X г = to X г, (13.4.1)
/= м +6 X м = to X г-I-to X г+ 6 X (to X г) =
= to X [(to —8) X г]+ to X г +6 X (to X г) =
= tox(toXr) + toX »•+ [6+ (to X г) + to X (г X 6)] =
= (to-г) to — coV — г X Ф, (13.4.2)
§ 13.4]
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
223
где
Ф = со + Єхсо. (13.4.3)
Составляющая ускорения по оси х равна
(CO1^ + со2гу + CO3Z) CO1 — (со2 + со2 + со?.) х — уф3 -f гф2 =
= — X (со2 + со2) + Zy(CO1CO2- фз) + z (CO3CO1+ ф2). (13.4.4)
До сих пор движение системы отсчета мы никак не связывали с движением тела. В дальнейшем нам будет удобно систему координат выбрать таким образом, чтобы оси ее совпадали с главными осями инерции тела и моменты инерции тела относительно этих осей были постоянны. При таком выборе системы отсчета будем иметь
2@ = Sm {[z2 (CO2CO3 - фО2 + у2 (со2со3 + Фі)2]+ ... + ...}. (13.4.5)
В этом соотношении мы сохранили лишь члены, содержащие ф1( члены же, не содержащие составляющих вектора ф, мы опустили. Кроме того, мы учли, что
Smyz = Smzx = Smxy = 0. (13.4.6)
Раскрывая скобки в равенстве (13.4.5) и отбрасывая члены, не содержащие составляющих ф, находим те члены в выражении для 2@, которые зависят от ф1:
q>lSm (у2 + z2) - 2агщщ8т (z2 — у2). (13.4.7)
Окончательно получаем
2@ = Ау\ + ByI + Сф2, —2 {В—С) Co2CO^1 -
— 2(C-A) (O3(O1(P2 — 2(A-B) (O1(O2(P3, (13.4.8)
где А, В, С — моменты инерции тела относительно осей координат.
В приложениях при пользовании теоремой § 13.2 за начало координат обычно выбирают центр тяжести тела (если только тело не имеет одной неподвижной точки). Рассмотрим некоторые частные случаи.
1) Однородный твердый шар, куб либо вообще любое тело, эллипсоид инерции которого в точке О представляет сферу. В этом случае A=B=C и движение системы координат может" быть взято произвольно, независимо от движения тела. Функция Гиббса (для движения относительно точки О) имеет вид
S= 1л(ф2+Ф2+ф2з). (13.4.9)
2) Тело вращения, например однородный прямой цилиндр или вращающийся волчок, для которого А = В фС. Ось 03 системы координат все время должна быть направлена вдоль оси симметрии; тогда S1 = Co1, 6? = со2, но, вообще говоря, 83 Ф (о3. В этом случае
cpi = Co1 + Co2 (со3 — Э3), ф2 = Co2 —CO1(CO3- 93), Фз = Co3 (13.4.10)
и (13.4.8) принимает вид
@ = 1 {А (со2 + со2) + Ссо'2 + 2 (AQ3 -C(O3) (со.со, -Co2Co1)}, (13.4.11)
где некоторые несущественные члены мы опустили.
Иногда бывает удобно этот результат представить в другой форме. Для точки Р, находящейся на оси симметрии на единичном расстоянии от точки О,
224
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИББСА — АППЕЛЯ
[Гл. XIII
скорость и ускорение равны
M = (OJ2, -CO1, 0}, (13.4.12)
Z=(Co2^-CO1B3, -CO1-HcO2B3, -К + со22)}, (13.4.13)
и мы можем написать
@ = 1 Ap + і Са\ - Ссо3? .(их/), (13.4.14)
где / = |/|, а через ? обозначен вектор OP, т. е. вектор с составляющими (О, 0, 1}. Можно также написать следующее выражение для @;
@ = 1 Л/2 +1 Са\ - Casf- (S X и). (13.4.15)
3) В общем случае, когда А, В и С различны, следует пользоваться системой координат, связанной с телом, с осями вдоль главных осей инерции
тела и с началом в центре тяжести О. В этом случае 6 = со, ср = (Co1, со2, со3} и, следовательно,
@ = -і {AOJ + Бсо* + CaI — 2(B-C) CO2Cu3Co1 —
— 2(C-A) CO3CO1CO2 — 2(A —В) Co1Co2Co3}. (13.4.16)
§ 13.5. Шар на вращающейся плоскости. Рассмотрим качение шара по шероховатой горизонтальной плоскости, которая вращается около фиксированной в ней точки О с заданной угловой скоростью Q. Угловая скорость Q может быть не постоянна и являться заданной функцией от t, принадлежащей классу C1 (как в примере § 5.5). Можно рассматривать однородный твердый шар, однородную сферическую оболочку либо вообще любое тело сферической формы, центр тяжести G которого лежит в его геометрическом центре, а эллипсоид инерции в точке G представляет сферу. Воспользуемся системой координат Oxyz с осями вдоль фиксированных направлений и началом в точке О; ось Oz направим перпендикулярно к плоскости. Выберем затем систему (7123 с осями, параллельными осям системы Oxyz, так что в рассматриваемой задаче будем иметь S1 = 82 = O3 = 0. Координаты центра катящегося шара обозначим через х, у, а; здесь а — радиус шара. Условия качения запишутся в виде
X — CMO2= —Qy, у -t-CZCo1 = Qx.
Рассматриваемая система неголономна и имеет три степени свободы. Для ее описания возьмем пять координат: х, у, Q1, q2, q3, причем
?i = O1, q2 = CO2 , qs = «з. (13.5.2)
В нашем случае & = 3, I = 2 и из пяти упомянутых выше координат х, у являются лагранжевыми координатами, a qu q2, q3 представляют собой квазикоординаты. Если положение шара определить с помощью углов Эйлера 8, ф, ар, то будем иметь п = 8. Возможные вариации координат удовлетворяют соотношениям
dx — a dq2 4- Qy dt = О, dy-\-adqt —Qx dt = 0.
Составим теперь выражение для функции Гиббса @. Имеем
(13.5.1)
(13.5.3)
2<S = M (х* + V2) -j- A (q\ + 'q\ 4- q)).
(13.5.4)
