Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 95

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 290 >> Следующая


Это соотношение, связывающее t и х, можно переписать в эквивалентной форме: d

{(с2 + gxf хЦ = 2c4g—2c* (с2/с2 — g2) х. (11.5.18)

Отсюда после интегрирования получаем

(с2 + gx)2 'хъ = c2x{2c*g — (с2/с2 — g2) х). (11.5.19)

Мы предполагаем, что ск > g, что эквивалентно неравенству у > Е, а последнее условие выполняется практически во всех интересующих нас случаях.

Определим теперь траекторию электрона. Из (11.5.19) и (11.5.16) находим

шгч='^ (и'5'201

где

р — cW—gZ ~~ V2—JS2

и

_ c2g Tn0Ec2

(11.5.21) (11.5.22)

Чтобы получить параметрические уравнения траектории, напишем

X = 2а sin2 Є = а (1 — cos 29). (11.5.23)

Из уравнения (11.5.20) тогда находим

dy = р tg Є dx = Aap sin2 Є d? = 2ар (1 — cos 26) do,

и, следовательно,

у = pa (29 — sin 29). (11.5.24)

Уравнения (11.5.23) и (11.5.24) выражают траекторию электрона в параметрической форме. Если бы параметр р (который больше единицы) имел значение, равное единице, то траекторией была бы циклоида с точками возврата, расположенными на оси Oy. Мы видели ранее (пример 10.6В), что если масса электрона постоянна, то траекторией электрона действительно является циклоида такого типа. Если же учесть изменение массы, то циклоидальная траектория изменится вследствие увеличения параметра р в направлении у. Наибольшее удаление электрона от оси Oy в процессе движения равно

Соответствующее удаление частицы постоянной массы т равно (см. (10.6.28))

. (И.5.26)

Глава XII УРАВНЕНИЯ ГИББСА-АППЕЛЯ

§ 12.1. Неголономные системы. Мы видели ранее, каким образом можно применить уравнения Лагранжа к случаю неголономной системы, и в качестве примера рассмотрели в § 8.12 качение круглого диска. Однако уравнения Лагранжа не очень удобны для изучения пеголопомных систем, и в этой главе мы рассмотрим уравнения движения в новой форме, которая особенно удобна в тех случаях, когда система неголономна (хотя, разумеется, уравнения эти справедливы и для голономных систем). Начнем изложение с понятия о квазикоординатах.

Массы частиц, составляющих систему, теперь будем считать постоянными.

§ 12.2. Квазикоординаты. Лагранжевы координаты обладают тем свойством, что переменные X являются явными функциями от q и t. Весьма удобно, особенно в случае неголономных систем, ввести координаты более общего

типа. В этих координатах каждая переменная хт является линейной функцией

от q, но эти функции в общем случае не являются полными производными

по времени. Каждое хт может быть представлено в виде линейной функции

от к переменных q, где к — число степеней свободы системы.

Рассмотрим неголономную систему с к степенями свободы и I уравнениями связи. Для описания этой системы необходимы к -f- Z лагранжевых коор-дцнат qi, q2, . . . ., qu+i- Возможные перемещения системы удовлетворяют уравнению (см. § 5.7).

k+i

0=2 Brsdqs + Brdt, г= 1,2, I, (12.2.1)

S=I

где коэффициенты Brs, B1. суть функции от qi: q2, . . ., qu+i', t, имеющие непрерывные первые производные в соответствующей области D изменения переменных qu q2, . ¦ ., qh+r, t.

Введем р новых величин Bi, 62, . . ., 6р, где р — произвольное целое число. Величины 0 не определены как функции от q и I, но их дифференциалы представляют собой пфаффовы формы от q и t:

к+1

dQr= Crsdqs+Crdt, r=l,2,...,p. (12.2.2)

S=I

Коэффициенты Cr$, Cr здесь суть функции от qi, q2, . . ., qq+l; t, имеющие непрерывные первые производные в области D. Выражения в правых частях равенств (12.2.1) и (12.2.2) представляют Z + р независимых форм Пфаффа; в общем случае они не являются полными дифференциалами. Величины 0 называют квазикоординатами. Будем далее писать 0Г = qh+i+r, так что будем иметь п переменных qi, q2, . . ., qn, где п = к I -+ р, из которых первые к + Z представляют собой лагранжевы координаты, а остальные р — квазикоординаты; при этом

k+i

її Crs dqs+Cr dt, г = I1 2, ..., p. (12.2.3)

S=I

§ 12.2]

КВАЗИКООРДИНАТЫ

215

Разрешим теперь I + р уравнений (12.2.1) и (12.2.3) относительно I + р дифференциалов dq, выразив их через оставшиеся к дифференциалов. Эти предпочтительные к дифференциалов, через которые выражены остальные, могут быть дифференциалами либо лагранжевых координат, либо квазикоординат. Если эти выделенные координаты временно обозначить через ср4, q>2, . . . . ., фй, то для координаты qr, к ним не принадлежащей, будем иметь

A

dqr = 2 Drs d<ps + Dr dl. (12.2.4)

S=I

Всего будем иметь I 4- р таких уравнений. Уравнения (12.2.4) в точности эквивалентны системам (12.2.1) и (12.2.3). Следует подчеркнуть, что коэффициенты Drs, Dr зависят От всех лагранжевых координат q и от времени t, я отнюдь не от фі, ф2, . . ., ф^; t.

Координата хт зависит от qu q2, . . ., qk+i\ t, следовательно,

h+l

^ = 2-^«»+ "!Г*. r = l,2, .... tf. (12.2.5)

s=l S

Выразим дифференциал каждой из невыделенных координат в правой части (12.2.5) через ^фі, d(fz, . . ., d(f>h, воспользовавшись для этого равенством (12.2.4). В результате dxr выразится в виде линейной функции от Ap1, d(p2, ... . . ., d(fh: dt; коэффициенты этой линейной формы будут содержать все лагранжевы координаты q и время t.
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed