Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициенты функции @ в общем случае зависят от всех переменных
• • • •
q, q, а не только от первых А;. При желании qh+i, qu+2> ¦ ¦ -> Qn можно
218
УРАВНЕНИЯ ГИББСА — АППЕЛЯ
[Гл. XII
исключить с помощью уравнений
к
?г== 2 ?ris + ?r, r = k + l, к + 2, .... п, (12.4.3)
S=I
получаемых из (12.2.7), однако эта процедура не дает каких-либо заметных преимуществ. Уравнения (12.4.3) тем не менее будут встречаться нам в дальнейшем в общей совокупности уравнений.
Рассмотрим теперь систему, конфигурация и скорость которой заданы в момент t. Мы хотим получить уравнения для определения ускорений частиц системы. Этого легко достигнуть при помощи следующей простой и важной теоремы. Ускорение системы таково, что выражение
@-S<?s?s, (12.4.4)
S=I
рассматриваемое как функция от Q1, q2, . . ., д^, имеет минимум. Применяя эту теорему, координаты и составляющие скоростей следует считать постоянными; фактически мы имеем дело с квадратичной функцией с постоянными коэффициентами.
Доказательство теоремы очень простое. Если через q обозначить ускорение в действительном движении, а через q -j-Ag — ускорение в любом другом возможном движении, то будет справедливо следующее равенство:
h п Nk
а (@ - 2 Qs'q's) = \ 2 тг &+А^)2-т 2 - 2 0»А?« =
S=I г—-1 Г=1 S=I
Af Nk
= {2m' (А^)2 + ( 2 >^'гАхг - 2 Qsb'q's) • (12.4.5)
r=l Г=1 S=I
Последняя скобка в правой части тождественно равна нулю, как это следует
из пятой формы (12.3.11) основного уравнения. Следовательно, если Ax ФО, то
А(@- 2&?8)>0, (12.4.6)
S=I
и теорема, таким образом, доказана.
Эта теорема тесно связана с принципом наименьшего принуждения Гаусса (§ 4.3). В самом деле, имеем
С = т2Чі;-^Г' (12.4.7)
r=l
а это с точностью до членов, не содержащих ускорений, то же самое, что
N
®-^Xrxr. (12.4.8)
r=l
N h
Выражение 2 %rxr отличается от 2 <?s<?s лишь членами, не зависящими
г=1 S=I
от ускорений. Таким образом, (12.4.4) отличается от С только членами, не содержащими ускорений, и, следовательно, теорема (12.4.6) может быть получена из принципа наименьшего принуждения Гаусса.
§ 12.5]
УРАВНЕНИЯ ГИББСА — АППЕЛЯ
219
§ 12.5. Уравнения Гиббса — Аппеля. Доказанная выше теорема
h
(§ 12.4) о том, что выражение @ — 2 QsQs в действительном движении имеет
s= 1
минимум, позволяет составить уравнения движения. Для этого достаточно написать условия стационарности. Тогда получим уравнения
^r = Qr, г = 1,2, к, (12.5.1)
ддг
называемые уравнениями Гиббса — Аппеля *). Их можно было бы получить из пятой формы (12.3.11) основного уравнения, если бы мы рассматривали бесконечно малые, а не конечные приращения. Уравнения (12.5.1) впервые были получены Уиллардом Гиббсом в 1879 г. и подробно исследованы Аппе-лем двадцать лет спустя. Яспо, что при составлении уравнений движения
члены в выражении для @, не содержащие д, можно опустить. К дифференциальным уравнениям движения следует добавить п — к — I 4- р уравнений геометрических связей
h
?г=- 2?r.j.+?r, r = A + l, A-f-2, -. ., п, (12.5.2)
s=l
полученных из (12.2.7).
Уравнения Гиббса — Аппеля представляют наиболее простую и в то же время наиболее общую форму уравнений движения. Исключительно простые по форме, они с равным успехом могут быть применены как к голо-номным, так и к неголономным системам и позволяют легко вводить квазикоординаты.
При пользовании этими уравнениями сначала определяют число степеней свободы системы к и составляют так называемую «кинетическую энергию
1 v
ускорений» у 2j пгтхг, выраженную через к ускорений q. В результате полу-
г=1
чают функцию @. В общем случае в нее входят все п координат q и скоростей
q, но существенно то, чтобы в нее входили лишь к выделенных ускорений q. Выделенные к координат q могут быть как лагранжевы, так и квазикоординаты, в зависимости от удобства. Далее рассматривается работа заданных сил на виртуальном перемещении; выражение для этой работы представляет-
'h
ся в форме 2 Qs&Qs- Уравнения движения имеют вид (12.5.1), к ним добавля-
s=i
ются п — к геометрических уравнений (12.5.2), и из совокупной системы дифференциальных уравнений определяются п переменных ql: q2, ¦ • -, Qn как функции от t.
*) История вывода уравнений Гиббса — Аппеля весьма примечательна. Эти уравнения были получены Уиллардом Гиббсом в 1879 г. в его работе: On the fundamental formulae of Dynamics, American Journal of Mathematics, II, стр. 49—64; Collected papers, vol. II, 1928. Гиббс установил свои уравнения для голономных систем, но, по-видимому, понимал, что они справедливы и для неголономных систем. В то время его метод не получил должной оценки, и открытие Гиббса, казалось, не вызвало особого интереса. В 1896 г. Аппель опубликовал первое издание своей «Mecanique Rationelle» [21], в которое вкралась серьезная ошибка. Функцию Лагранжа для неголономной системы Аппель выражал
через к составляющих скорости qr и по отой функции строил уравнения Лагранжа. (Подобное заблуждение не раз встречалось в истории механики, см., например, А. В. В а s s е t t, Motion of one solid on another, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, XLVIII1 1920, стр. 310—320.) После выхода в свет первого издания Аппель обнаружил свою ошибку и занялся поисками такой формы уравпений движения, которые были бы в равной степени приложимы как к голономным, так и к неголономным системам. Уравнения Гиббса — Аппеля были опубликованы в «Comptes Rendus» в 1899 г., а также во втором издании «Mecanique Rationelle» в 1904 г.
