Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
n d ё, Fortschritte der Quantentheorie, Dresden, 1922.
7) Это было доказано SchrOdinge г'ом, Ann. Physik [41 79 (1926).
8) Z. Physik, Bd. 37 (1926).
9) Ср. прим.2) на стр. 10 и также книгу: Schrodinge г, Abhandlun-gen zur
Wellenmechanlk, Leipzig, 1928.
14
ЙВОДНЫЁ ЗАМЕЧАНИЯ
(ГЛ. 1
все трудности первоначальной квантовой теории, так что сегодня мы
обладаем безукоризненной системой механики. Правда, упомянутое ранее
великое единство с электродинамикой и теорией относительности еще не
восстановлено, однако, по крайней мере, есть универсально справедливая
механика, в которую квантовые закономерности входят с естественной
необходимостью и которая удовлетворительно объясняет большую часть наших
опытов10).
2. Первоначальные формулировки квантовой механики
В целях предварительной ориентировки расскажем кратко, как принципиально
ставится задача в "матричной механике" Гайзенберга - Борна-Йордана и в
"волновой механике" Шредингера.
В обеих теориях сперва задается классическая механическая задача,
характеризуемая гамильтоновой функцией Н (ql qk, pv pk).
(Это означает, как известно, - детальнее смотри в учебниках механики -
следующее:
Пусть система имеет k степеней свободы, т. е. ее состояние в каждый
момент фиксируется заданием численных значений k координат qv ..., qk. Ее
энергия есть заданная функция координат и их производных по времени
E = L(qv .... qk, qv ..., qk)
и именно, как правило, квадратичная функция производных <7j, qk. С
помощью соотношений
dL 6L
Pi Pk -
д*1 дч
для координат ql qk вводятся "сопряженные импульсы" pv pk,
которые в случае сделанного выше предположения зависят от
<7j qk линейно. Во всяком случае можно исключить ql qk
из L с помощью pv ..., pk, так что будет
E=L(qv qk, qv ..., qk) = H(qv .,,, qk, pv ..., pk).
10) Современное положение вещей можно охарактеризовать тем, что теория
приводит к полному успеху, пока она имеет дело с отдельными электронами
или с электронными оболочками атомов или молекул, а именно
с электростатическими силами, равно как и с электромагнитными процессами
при испускании, распространении и преобразовании света. Напротив,
кажется, что в проблемах атомного ядра и во всех попытках установить
общую и релятивистскую теорию электромагнетизма теория, несмотря на
значительные успехи в решении частных задач, всегда ведет к огромным
трудностям, которые вряд ли удастся преодолеть без введения существенно
новых идей.
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 15
Эта Н и есть гамильтонова функция.) В обеих теориях мы хотели бы теперь
узнать, исходя из этой гамильтоновой функции, возможно больше об
истинном, т. е. квантовом, поведении этой системы11) - прежде всего
определить возможные энергетические уровни, затем найти относящиеся к ним
"стационарные состояния", посчитать "вероятности переходов" между ними и
т. д.12).
Наставление, предлагаемое для решения этой задачи матричной теорией,
состоит в следующем: надо найти систему 2k матриц
Qi. • • • > Qft. Р\< • • • > Рц 13)> которые, во-первых, удовлетворяют
условиям
QmQn QnQm - O'
р р -р р =0, * т* п п т
PmQn QnPm - '
271 i
при
при
т Ф п,
т = п
(т, п = 1,
к)
1.1=¦
дН дР[
До открытия квантовой сохранив эти уравнения
п) Движение по классической механике, как известно, полностью
определяется гамильтоновой функцией, поскольку она дает нам уравнения
движения
дН П 1 7,4
= (/=1....k)'
механики пытались схватить квантовые явления, движения и лишь налагая
дополнительные квантовые" условия (ср. прим. 6) на стр. 13). Уравнения
движения определяли для
каждого, заданного в момент / = 0, набора значений
q , ..., qk, рх pk
дальнейшее развитие со временем, "орбиту" системы в 2А-
мерном "фазовом
пространстве" q1 qk, pv ..., pk. Поэтому всякое дополнительное условие
оказывается приводящим к ограничению всех возможных начальных значений
(орбит) определенной подсистемой. (Соответственно малому числу допустимых
орбит будут возможны лишь некоторые уровни энергии.) Хотя квантовая
механика и порвала полностью с этим приемом, все-таки a priori ясно, что
функция Гамильтона должна и в ней играть большую роль. В самом деле, весь
наш опыт доказывает справедливость воровского принципа соответствия,
который утверждает, что квантовая теория должна давать те же результаты,
что и классическая механика в так называемом пределе больших квантовых
чисел.
1г) Три последних понятия заимствованы из доквантовомеханического,
развитого преимущественно Бором, круга идей теории квант. Позже мы еще
детально проанализируем их с точки зрения квантовой механики (ср.
относящуюся сюда диракову теорию излучения, изложенную в III. 6). Их
историческое развитие можно проследить по работам Бора относительно
структуры атома, опубликованным с 1913 по 1916 г.
13) Как показывает более детальный математический анализ, эта задача
необходимо приводит к бесконечным матрицам. Мы не будем здесь входить в
детали свойств этих матриц, поскольку они будут рассмотрены позже во всей
