Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
отсутствуют, было одним из наиболее важных постулатов Бора 1913 г.
Классическая электродинамика находится в прямом противоречии с этим.
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ТЕОРИЙ: ТЁОРЙЯ ПРЁОБРАЗОВАНИЯ 21
Мы видим, что основные понятия и практические наставления обеих теорий
звучат заметно различно. Тем не менее с самого начала они всегда
приводили к одним и тем же результатам, даже и тогда, когда это касалось
деталей, в которых обе они отличались от более ранних концепций квантовой
теории23). Эта необычайная ситуация была, как указано в 1.1, вскоре
прояснена24) Шредингером, доказавшим их математическую эквивалентность.
Мы обратимся сейчас к этому доказательству эквивалентности и в то же
время поясним общую теорию преобразований Дирака-Йордана (которая
объединяет эти две теории).
3. Эквивалентность двух теорий: Теория преобразований
Фундаментальная проблема матричной теории состояла в отыскании матриц Qj,
..., Qk, Рj Pk таких, чтобы, во-первых, удовлетворялись перестановочные
соотношения из 1.2 (стр. 15) и, во-вторых, чтобы некоторая определенная
функция этих матриц H(QV .... Qk, Pv .... Pk) становилась диагональной
матрицей. Эта задача была разделена Борном и Йорданом уже в их первой
публикации на две части следующим образом:
Сначала разыскивались какие-нибудь матрицы Q1 Qk,
Рг Pk, которые должны были лишь удовлетворять перестановочным
соотношениям, что легко достигается 25); при этом, вообще говоря,
H = //(Q, Qk, Л Рк)
не оказывалась диагональной матрицей. Затем правильные решения
разыскивались в форме
Qi = S'^S Qk = S~lQkS, Рг = S-'^S Рк = S~lPkS,
где 5 могла быть произвольной матрицей (но все же обладающей обратной
матрицей S-1 со свойствами 5_15 = SS~l = l). Поскольку из
выполнения перестановочных соотношений для Qx Qk, Рг Рк
следует (тождественно в силу свойств 51) и их справедливость
для QvQk, Р1 Рк и поскольку Н=Я(^! Qk,
Л Рк) переходит в H = ^(Q! Qk, Рг Рк), где
гз) Ср. вторую работу Шредингера, упомянутую в прим.16) На стр. 18. г4)
Ср. прим. 7) на стр. 13.
25) Ср., например, §§ 20, 23 книги Борна и Йордана, упомянутой в
прим.') на стр. 9.
22
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
[ГЛ. 1
5 = Н 26), то единственное, что надо требовать от S, -
это чтобы 5_1H-S была диагональной матрицей при заданной Н. Следовало бы,
конечно, еще позаботиться о том, чтобы при этом
S~1QlS, ... остались эрмитовыми, как были Qx Однако при
более внимательном рассмотрении оказывается, что этому дальнейшему
требованию к 5 всегда можно удовлетворить позже; поэтому сейчас в этом
предварительном рассуждении мы оставим его без внимания.
Следовательно, требуется привести данную Н к диагональной форме с помощью
преобразования 5_1Н5. Давайте поэтому точно сформулируем, что это значит
I
Пусть матрица Н имеет элементы й^, искомая матрица 5 - элементы и (также
неизвестная) диагональная матрица Н - диагональные элементы w^ и,
следовательно, общий элемент "^8 27).
утверждает то же, что и SH = HS, а последнее означает (если мы приравняем
друг другу соответствующие, определяемые по известным правилам матричного
умножения элементы с обеих сторон равенства):
S V • WAP = S а • v
м V
т. е.
2 a1xv-s = wp' V
Отдельные столбцы slp, s2p, ... матрицы 5 (р == 1, 2, ...) и
соответствующие диагональные элементы wf матрицы Н являются,
следовательно, решениями так называемой проблемы собственных значений,
которая записывается следующим образом:
2 Ац,х,== ^ ((*== 1" 2, • • •)
М
26) Поскольку
S~ l. l.S=l, S~1-aA-S=a-S-1AS,
S~l-(A + B)-S=S-1AS + S~ lBS, S~l ¦ AB.S = S~lAS- S' lBS, то для любого
матричного полинома Р (А, В, ...)
*Р (А, В,...) S - Р (5~ lAS, S~ lBS, ...).
Взяв в качестве Р левые части перестановочных соотношений, убедимся в их
инвариантности; взяв в качестве Р величину Н, получим 5_1Н5=Н. а7) Vv -
эт0 хорошо известный символ Кронекера:
8ц, = 1 при р. = v,
8, = О при р ф v.
31 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ТЕОРИЙ: ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 23
(тривиальное решение хх - х2 = ... =0 естественно исключается).
Действительно, A:v = svp, X = wp есть решение. (Решение xv==0 и,
следовательно, svp^0 [для всех v] не относится к делу, поскольку тогда р-
й столбец S исчез бы тождественно, в то время как S обладает обратной
матрицей S-1 !). Замечательно, что в существенном единственно такие
решения и возможны.
В самом деле, полученное выше уравнение означает, что преобразование
вектора х = {хг, х2, ...} с помощью матрицы Н равняется тому же вектору,
умноженному на число X. Преобразуем л: =
raijxj, х2, . ..} с помощью S-1 и обозначим полученный при этом вектор
через у=[у1, у2, ...}. Если мы преобразуем у с помощью Н, то это будет
то же, что преобразование х с помощью HS-1 =
= S-IHS- • Н, а следовательно то же, что преобразова-
ние Хл: с помощью S"1, т. е. Ху. Далее Ну имеет компоненты
w 8 v = w v ,
а Ху - компоненты Ху^, т. е. требуется, чтобы w у =Ху для всех jj. = 1,
2, ..., а это означает, что Уц = 0 для всех w Ф X. Это означает, если
обозначить через rf вектор, у которого p-я компонента есть 1, а все
