Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 11

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 145 >> Следующая

Метод, намеченный в I. 3, приводил к аналогии между "дискретным"
пространством значений индекса Z = (l, 2, ...) и непрерывным
конфигурационным пространством Q механической системы (Q &-мерно, где k
число классических механических степеней свободы системы). Неудивительно,
что такая аналогия не могла быть достигнута без некоторого насилия над
формализмом и математикой. Пространства Z и 2 в действительности весьма
различны и любая попытка соотнести их должна приводить к большим
трудностям33).
33) Впрочем, к унификации такого рода задолго до квантовой механики
стремился Е. Н. Moore - основоположник так называемого "общего анализа".
Ср. статью на эту тему: Не 11 Inge г - T6pllz, Math. Enzyklopadie Bd.
113,9 Leipzig, 1927.
30
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
[ГЛ. I
Однако, что нам в самом деле нужно, это вовсе не соотношение между Z и 2,
но только соотношение между функциями в этих двух пространствах, т. е.
между последовательностями лгр х2, ..., которые суть функции в Z, и
волновыми функциями ср(qv ..qk), являющимися функциями в 2. Единственно
эти функции и представляют собой те объекты, которые входят в постановку
квантовой механической задачи,
В теории Шредингера важную роль играет интеграл
/ ••• f l?(?i.................•••
2
он должен быть равен единице для того, чтобы функции ср можно было дать
физическую интерпретацию (ср. 1.2). В матричной теории, напротив (ср.
проблему Е\. в 1.3), решающую роль играет вектор ху х2, .... На этот
вектор всегда накладывается условие конечности суммы Sl^vl2 в дУхе
гильбертовой теории такого рода задач
V
о собственных значениях (ср. ссылку в прим. 3°) на стр. 25). Обычно даже,
чтобы исключить тривиальное решение jcv = 0, устанавливают нормировку
Sl^vl2"!' Это побуждает нас ограничить круг допу-
V
стимых в Z или 2 функций такими, для которых
2l*vl2 или /•••/и?!.................4k)\2d4i ¦¦¦ d4k
конечны, поскольку лишь для таких функций ^ или могут
быть сделаны равными единице умножением на постоянную, т. е. функции
можно нормировать в обычном смыслем). Мы назовем множества таких функций
Fz и Fq соответственно.
34) Многократно отмечалось, что в теории Шредингера для волновой
функции у существенно лишь требование конечности интеграла
/ ••• / l?(?i.........4k)\2dq1 ... dqk.
2
Так что, например, <р может быть сингулярна, может обращаться в
бесконечность, если только указанный интеграл остается конечным.
Поучительным примером такого рода оказывается атом водорода в
релятивистской теории Дирака, ср. Dirac, Proc. Roy. Soc., Lond., 117
(1928); и W. Gordon, Z. Physik 48 (1928).
4) ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 31
Далее, выполняется теорема: Fz и F2 изоморфны (Fischer и. F. Riesz)35).
Точнее это означает следующее: Возможно установить однооднозначное
соответствие между Fz и Fq, т. е. каждой последовательности хх, х2, ... с
конечной 2|-*\12 сопоставить функцию
<{(qv •••¦ Як) с конечным ¦¦¦'Як)\2аЯ1 ••• dqk и на-
2
оборот, так что соответствие будет линейным и изометрическим.
"Линейность" означает: если хх, х2, соответствует <f(qx qk)
и Уг У2' • • • соответствует ty(qx qk), то axv ах2, ... и хх-\-ух,
х2-\-у2, ... соответствуют ay(qx qk) и <f(qx ?*)-+-
-\-^{qx qk)\ "изометричность" означает: для соответствующих
друг другу хх, х2, . •. и y{qv .... qk) выполняется 2|*v|2 =
| <?(qx, .... qk) |2 dqx ... dqk (понятие "изометрии" связано
с тем, что принято рассматривать хх, х2, ... и y{qx, .... qk) как
векторы, a ^ |^"|2 и /I • •• / \'Ня\ M2rf?i аяк
как соответствующие "длины"). Вдобавок, если хх, х2, ... и у2, ...
отвечают соответственно <?(qx qk) и ^(qv ..., qk), то будет
даже
S - / • ' • / V(9i •• •• Як)а91 аЧ к
(и обе части абсолютно сходятся). По поводу этого последнего пункта
заметим, что собственно можно было бы желать, чтобы выполнялось
2Х = / ••• /<P(?i 4k)d4i аЯк
или нечто в этом роде, т. е. полной аналогии между суммированием с одной
стороны, и интегрированием с другой, однако ближайшее
ц35) В главе о гильбертовом пространстве мы вернемся к доказательству
этой теоремы (ср. II, 2, 3, особенно теорема 5. в II, 2). Заметим, что
для многих целей достаточно только части этой теоремы, которая
доказывается много проще; именно: изоморфизма между F2 и соответствующей
частью Fz\ доказательство этой части восходит к Hllbert'y (G6tt. Nachr.,
1906). Так, первоначальное шредингерово доказательство эквивалентности
(ср. прим.7) на стр. 13), тоже основано только на этой части теоремы.
32
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
[ГЛ. I
рассмотрение показывает, что сложение 2^ и интегрирование
V
. dq, . .. dqk применяются в квантовой механике всегда
только к таким выражениям, как *vyv или ср(q, Чк)^(Чг< • • •• Чь)'
Мы не собираемся здесь предпринимать какое-либо исследование того, как
это соответствие должно быть установлено, поскольку это все равно будет
нашей главной заботой в следующей главе. Но надо подчеркнуть, что
означает существование такого соответствия: Z и 2 весьма различны и
установление прямой связи между ними должно приводить к неразрешимым
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed