Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
операторе, положив ради простоты k=\. Итак, требуется, чтобы было:
СО
Ль <р (7) = J h(q, 70 ? (70 dq'.
- СО
Заменим 9(7) на 9(7 + 7о)> положим 7 = 0 и введем переменную
СО
интегрирования q" = q'-\-q0. Тогда 9(qQ) = J h (0, q"-q0) 9(7")dq".
- ОО
Если мы теперь заменим q0, 7" на q, q', мы увидим, что h{0, q' -q) решает
задачу, так же как и h(q, q'), так что мы вправе считать, что h{q, q')
зависит лишь от q' - q. Тогда требование формулируется так:
СО
Д2. 9 (7) = f h (q' - 7) 9 (7') dq', (h (7, q')
= h(q' - 7)).
- CO
Заменяя снова 9(7) на 9(7 + 70). убедимся, что достаточно рассмотреть
случай 7 = 0:
ОО
Д3. 9 (°) = / h (7) 9 (7) dq.
- СО
Замена 9(7) на 9(-7) показывает, что h{-7) есть, так же как h(q), решение
и, следовательно, hl{q) = ^{h{q)-\-h(-7)) - тоже, так что h(q) можно
считать четной функцией 7.
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ТЕОРИЙ: ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 27
Ясно, что этим условиям невозможно удовлетворить: если мы выберем ср (<7)
> 0 для q ^ О, <р (0) = 0, то из Д3. следует, что h(q) = 0 для ^3;О31).
Если же мы выберем ср(^)=1, то получится
ОО
f h(q)dq=l,
- ОО
тогда как из предыдущего безусловно следует
ОО
J h (q) dq = 0.
- ОО
Несмотря на это, Дирак лицемерно допустил существование функции такого
рода:
Д4. 8(<7) = 0 для <7^0, 8(<7) = 8(- q), J'8(q)dq=l.
Она удовлетворила бы Д3.:
со со оо
/ 8(<7)<p(<7)rf<7 = <p(°) / 8(<7)rf<7+ f Б(<7) {<р(д) - ?(0)) dq =
- СО -00 -оо
оо
= ср(0) • 1 + Jo- <fy = (p(0),
- оо
а следовательно, также Дь и Д2.. Мы должны представлять себе эту функцию
исчезающей везде, кроме начала координат, и настолько сильно бесконечной
в этой точке, что полный интеграл от нее
все же оказывается равным единице32).
Если уж мы признаем эту фикцию, то можно будет представлять самые
разнообразные дифференциальные операторы, как операторы
31) Точнее, если мы возьмем за основу интеграл в смысле Лебега, то для 0
должно быть Л(^) = 0, исключая множество меры нуль, т. е. за исключением
этого множества Л (?)=== 0 тождественно.
32) Площадь под кривой Ь (q) мы должны представлять себе как бесконечно
узкий и бесконечно высокий пик в точке q = 0, таким образом, что его
площадь равна единице, скажем как предельное поведение функции
j/" - e~aq2 при a->-f-oo, но это все равно невозможно не в меньшей мере.
28
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
[ГЛ. I
интегральные, если в дополнение к 8(7) ввести и ее производные. Тогда
находим, что
Л
dq
п<?(Я) = 4д* / Ь^ - Ч')^{Я')аЧ'= f -|р5(<7 -<7') <Р (q')dq' =
- СО -со
со
= f 8<л) - (q')dq',
- со
00
д"9(Я)= f b(q - q')qn<?(q')dq',
т. e. что Л- и qn имеют интегральные ядра 8</г)(^ - q') и 8 (q-q')q"
(Ilf
соответственно. По той же схеме мы можем найти интегральные ядра сколь
угодно сложных дифференциальных операторов. При
нескольких переменных qj qk к цели приводят произведения
8-функций, например:
f ... f s(?i-?08(?2-?0 ••• b{qk-q'k)9{q[..........ч'к)лч\... =
со со
= / ••• / ^)b^-^i)dq[
-СО I- -00
X
х8(?*-^)Ч =
со Г Г со
= { ¦¦¦ f?(qvq2..............q'k)8(?2 - я2)Щ
ь{як-я'кЖ=
= ... = ?(?,, q2 qk).
f Jb'{4i-4[)^(q2-q2)---b{4k-q'k)9{qv--q'k)d4\---dqk =
=4-4J /щ-я\Щя2-я%.~
o'
• • •8(?* -як) <?(я[ q'k) d4[ • • • Нк = ^7 <p(?
?*)•
и так далее.
Так можно навязать интегральное представление /. практически всем
операторам.
4]
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
29
Коль скоро есть такое представление, аналогия между Е\. и Е3. становится
полной, нужно лишь заменить v, v', 2> х на
v'
4i я* •••¦ ч'и\ /•••/••• К ••• К* ?•
2
Как векторам хч соответствуют функции ср(<7lt qk), так и матрицам /г,,'
нужно поставить в соответствие интегральные ядра h (qv ..., qk\ q[, ....
q'^\ однако еще целесообразней рассматривать эти ядра прямо как матрицы и
соответственно считать qv ..qk индексами строк, a q[ q'k индексами
столбцов, соответствующими v и v'. Мы тогда имеем, кроме обычных матриц
{/zvv') с дискретными совокупностями столбцов и строк, нумерованными
числами 1, 2, ..., еще другие {/г (qx qk\ q[, .. ., q')} (интегральные
ядра), для которых каждая совокупность характеризуется &-перемен-ными,
непрерывно пробегающими все Q.
Эта аналогия может показаться чисто формальной, но в действительности это
не так, ибо индексы v и v' могут также рассматриваться как координаты в
пространстве состояний: именно, если понимать их как квантовые числа (в
смысле теории Бора: как номера возможных орбит в фазовом пространстве,
которые оказываются дискретными вследствие запретов, накладываемых
квантовыми условиями).
Мы не будем прослеживать далее этот ход мысли, развивая который Дирак и
Йордан очертили единую теорию квантовых процессов. "Несобственные"
конструкции (такие, как В (лг), 8'(x)) играют в нем решающую роль - они
лежат за пределами обычно употребляемых математических методов, а мы
надеемся описать квантовую механику с помощью именно этих последних
методов. Поэтому мы перейдем к другому (шредингерову) методу объединения
обеих теорий.
4. Эквивалентность двух теорий: Гильбертово пространство
