Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 6

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 145 >> Следующая

подробности. Пока достаточно знать, что формальные алгебраические
операции с этими матрицами следует понимать в смысле известных правил
матричного сложения и умножения. В частности, под 0 и 1 мы понимаем
нулевую и единичную матрицы (со всеми элементами, тождественно равными
нулю, и с элементами, равными единице на главной диагонали, и остальными
нулевыми соответственно).
16
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
[ГЛ. I
и для которых, во-вторых, матрица
W = H(Ql Qk, Рх Pk)
становится диагональной.
Мы не будем здесь входить в детали происхождения этих уравнений, в
особенности первой группы -так называемых "правил коммутации", которые
определяют все некоммутативное матричное исчисление в этой теории.
Читатель найдет исчерпывающее изложение этого предмета в работах,
цитированных в прим. *) (стр. 9). Величина h - это планковский квант
действия. Диагональные элементы W,
пусть wx, w2 будут тогда различными возможными уровнями
энергии системы. Элементы матриц Qj Qk - .....ф^п извест-
ным образом определяют вероятности перехода системы (из состояния т с
энергией wm в состояние п с энергией wn, wm > wn) и испускаемое при этом
излучение.
Вдобавок следует заметить, что матрица
W = H(Ql Qk. Рх Рк)
не определяется полностью набором Q{ Qk, Р{ Pk и гамильтоновой функцией Н
(ql qk, pv ..., pk) классической механики, поскольку Q; и Р; не
коммутируют между собой (при умножении), в то время как в случае
классической механики было бы совершенно бессмысленным различать между,
скажем, p{q{ и д{р{
в Н(ql qk, pl pk). Поэтому надо еще установить в Н
порядок множителей qt и pt в дополнение к классическому смыслу этого
выражения в отдельных членах. В общем эта процедура не проведена, но для
важнейших частных случаев известны целесообразные нормировки. (В
простейшем случае, когда рассматриваемая система состоит из v частиц и,
следовательно, имеет k = 3v координат ql <73v - скажем так, что <73(1_2,
q3)L_Р q3)L суть три декартовых координаты р-й частицы, р. = 1 v, - в
которых взаимодействие этих частиц определяется потенциальной энергией V
(ql <73v),
вообще не возникает неоднозначностей такого рода. Классической функцией
Гамильтона будет тогда
H(4i Язр Pi /"3.) =
V
= I] 2^7(pi-2 + Plv-I + ^зц) + V{4i..........<73v),
i ^
p.= l
где m -масса р-й частицы, a p3|1_2' Рз^-р Рз^ ~~ компоненты ее
импульса. Что будет означать это после подстановки матриц Q:.......Q3v,
Р P3v, совершенно ясно. В частности, не возникает никаких
затруднений с потенциальной энергией, поскольку все Qр . . ., Q3v между
собою коммутируют.) Существенно, что дозволены только
2] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 17
эрмитовы матрицы, т. е. такие матрицы А=[атп}, для которых тождественно
выполняется атп = апт (элементы атп могут быть комплексными!). Отсюда
H(QV .... Qk, Pv .... Pk) должна быть эрмитовой, если эрмитовы все Qv ..
., Qk, Pv . . ., Pk, что вносит определенное ограничение в упомянутую
задачу определения правильного порядка сомножителей, ни в коей мере
недостаточное, однако, чтобы однозначно определить Н(Qv .... Qk, Pv ....
Pk) по классической функции H(qv .... qk, pv .... pk)u).
Напротив, наставление волновой механики гласит следующее: сперва
надо образовать гамильтонову функцию H(qv ..., qk, р1 pk),
а затем составить для произвольной функции ф (qv , qk) в конфигурационном
пространстве системы (а не в фазовом пространстве, т. е. pv .... pk не
входят в ф) дифференциальное уравнение
H{qv .... 4k' = -¦ Чь)-
При этом
" / h д h д \
Чк> 2тс/ dq. ' 2ш dqk)
надо понимать в само собой разумеющемся смысле как функциональный
оператор. Например, в указанном выше случае
H(qv .... <73ч, pv ..., /73ч) =
V
= '2от^(/,з(1-2 + /,з(1-1 + /,з11) + 11/ (4v •••¦ Чзч)
м-=1
переводит функцию ф(<7р .... <73ч) в
(
н) Если матрицы Q,, - эрмитовы, то ни Q,P, ни P,Q, не обязаны
быть такими, но зато всегда эрмитова -g- (Qi/-*! -f- ^iQi)- Но уже в
случае QfPj начинают конкурировать как у (QjPj + ^iQi). так и Q\P\Qi
правда, если P,Q, - Qj/3! = 2~j" 1. т0 эти Два выражения совпадают^,
1 ' в случае - три выражения - (QjP; -}- T'iQi),
Q\P\Qi и /'jQj/5! и т.д.
(теперь уже не все эти выражения совпадают и в упомянутом частном
случае). Мы не будем сейчас вдаваться в это подробнее, поскольку
развиваемое далее операторное исчисление позволит много йснее разобраться
в этих соотношениях.
2 И. Нейман
18
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
[ГЛ. I
(мы опустили в V и ф переменные qv .... ^3v). Поскольку операция ^lWiTq~
отлична от операции15) здесь снова возникает
неопределенность, связанная с порядком сомножителей qm и рт
в И{ql 4k' Pv • • •• Pk)> однако Шредингер показал, как можно
устранить эту неоднозначность путем сведения к определенному
вариационному принципу и притом так, чтобы результирующее
дифференциальное уравнение оказалось самосопряженным16). Ну а это
дифференциальное уравнение ("волновое уравнение") приобретает характер
проблемы собственных значений, если интерпретировать X как параметр
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed