Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 7

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 145 >> Следующая

собственных значений и наложить на собственную функцию ф = ф(<71 qk)
требования, скажем, исчезновения на краю
конфигурационного пространства (пространства координат ql qk),
и, конечно, регулярности и однозначности в нем. По смыслу волновой теории
собственные значения X (как в дискретном, так и в непрерывном спектре)17)
представляют собой возможные энергетические уровни. Также и (комплексные)
собственные функции, принадлежащие им, связаны с соответствующими
(стационарными в смысле Бора) состояниями системы. Так для системы из v
электронов (ft = 3v см. выше, е - заряд электрона) плотность заряда
электрона с номером р., который по Шредингеру надо представить себе
"размазанным" по всему пространству х, у, z{=q3^_2, q3v__v q3v),
измеренная в точке х, у, z, задается выражением
е{ ¦¦¦ / 1Ф(?1 fyi-з* У' .... М2Х
3v -3
X dql ... dq3^_3dq3^+l .. . dq3v.
15) Мы имеем
h д . .. h д . , h ,
2ni dq, (?lV) ~ ?1 2ni dqi ^ + 2ni
тем самым получаем
h d h д ___ h .
2ni dqt 2ni dqt ~ 2ni '
где 1 есть тождественный (переводящий ф в себя самое) оператор, т. е. h д
и удовлетворяют тем же правилам коммутации, что и матрицы
Л и Qi.
16) Ср. его первые две статьи в книге, цитированной в прим.9) (стр. 13),
также Ann. Phys. [4] 79 (1926).
17) Ср. первую из упомянутых в прим.16) работ Шредингера. Точное
определение спектра и его частей будет дано позже в §§ II. 6-II. 9.
Oj ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 19
(Чтобы полный заряд вышел бы равным е, функция ф должна быть нормирована
условием
/ • • • / №(01 • • • ?3v)l2rf?i • • • аЧъ = !•
Зч
[Интегрирование по всем 3v переменным!] Причем для каждого из р,= 1, v
получается то же уравнение.)
Кроме того, волновая механика может делать высказывания и относительно
систем, не находящихся в воровских стационарных состояниях 18), а именно
следующим образом:
Если состояние не стационарно, т. е. изменяется со временем, тогда
волновая функция фгггф^, ..., qk; t) содержит время и меняется согласно
дифференциальному уравнению
~Н{1h ?*• Ш-Щ ....................................q*' ') =
==2я7аГ^^1*
Это значит, что для t - t0 ф может быть задана произвольным образом, а
затем однозначно определяется для всех t. Даже стационарные ф, как можно
заключить из сравнения двух шредингеровых дифференциальных уравнений, в
действительности зависят от времени, но только для них время входит
согласно
-(tm)-и
qk\t)=e h ф(<7! qk\ 0),
т. е. t появляется только в множителе, равном единице по абсолютной
величине и не зависящем от qv .... qk (т. е. постоянном в
конфигурационном пространстве), так что, например, определенное выше
распределение плотности заряда не изменяется. (Мы фудем вообще
предполагать - и обнаружим, что это оправдается в дальнейшем более
детальными рассуждениями, - что множитель в ф, равный единице по модулю и
постоянный [в конфигурационном пространстве], принципиально ненаблюдаем.)
Поскольку собственные функции первого дифференциального уравнения
образуют полную ортогональную систему20), мы можем
18) В первоначальном понимании матричной механики (ср. наше изложение
выше) не существовало такого общего понятия состояния, для которого
стационарные состояния оказываются частным случаем. Только стационарные,
сопоставленные собственным значениям энергии, состояния были предметом
теории.
19) Н = Н (ql qk, pl pk) может даже явно содержать время t.
Естественно, что тогда, вообще говоря, не будет вовсе никаких
стационарных состояний.
20) Если имеется только дискретный спектр. Ср. II. 6.
2*
20 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ [ГЛ. I
разложить по ним всякую ф = ф (qv ..., qk). Если фр ф2, ... суть
собственные функции (все опять не зависящие" от времени) и ХР Х2, ... -
соответствующие им собственные значения, то разложение имеет вид
ОО
ф(?1 Як) = 2 алфл(Ях Як)21)-" П- 1
Если же ф зависит от времени, то t войдет в коэффициенты ап (напротив,
собственные функции фр ф2, ... не должны здесь, как и всюду далее,
зависеть от времени. Таким образом, если ф=ф(д'1, ..., qk),
с которой мы имеем дело, есть в действительности ф(д,1 qk\ tQ),
то, с учетом того, что
ОО
Ф = Ф(?р •••• я^ 0=21"л(0фл"
л= 1
ОО ОО
Щ = 2 ап (О Щп -- 2 Кап (О ФП
/3=1 /3=1
и
сю
Ж ^ = ^ ъй ап ^ ^п '
п- 1
из второго дифференциального уравнения сравнением коэффициентов получим
. . _ы_ ,
2^an(t) = - 'knan(t), an{t) = cne '* Хл .
т. е.
00 х it-t'\
Ф = Ф(?Р ..., я^ 0=2 е н п "/зф/з(?1 Як)-П - 1
Следовательно, если ф не стационарна, т. е. если не все ап< за
исключением одного, обращаются в нуль, то ф (при изменении t) уже больше
не меняется лишь на (в пространстве состояний) постоянный множитель
абсолютной величины 1. Поэтому будут, вообще говоря, изменяться и
определенные выше плотности заряда и, значит, в пространстве возникнут
реальные электрические колебания 22).
21) Эти, так же как и все последующие разложения в ряды, сходятся "в
среднем". Мы это рассмотрим в II. 2.
22) Что в стационарных состояниях (и только в таких) такие колебания
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed