КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
является топологически сопряженным к кронекеровскому потоку.
Действительно, периодические решения, для которых выполнено
типично изолированные, а для кронекеровского потока они покрывают весь
тор.
Теперь легко построить примеры гладких функций / таких, что р{\) не
постоянно, и таких, что (6.1) не сопряжен к кронекеровскому потоку всякий
раз, когда р(\) принимает рациональные значения. Такие примеры можно
построить при помощи надстройки (содержащей параметр со схожими
свойствами) над отображениями окружности (см., например, работу Эрмана
(Herman) [12]). В силу известной теоремы Эрмана [12], которую обобщил
Иокоз (Yoccoz) [26], сопряженное отображение является гладким, если р
удовлетворяет диофантову условию.
Мы построим почти комплексную структуру на Т4, в которой встречается этот
феномен для голоморфных слоений.
2. Псевдоголоморфные кривые как графики. Уравнение Монжа-Ампера (Mouge
- Ampere). Мы используем переменные х = (ж1,жг), у = (з/i,2/2) в14и
запишем поверхность в виде графика
У = g(x, рх +во).
y(x + q) = у(х) +р
У = и(х).
(6.3)
§6. Четырехмерный тор Г4. Резонансный случай 417
Почти комплексная структура задается соотношениями из = С'(х, y)dx +
С"(х, y)dy,
где
С = (С", С1")
соответствует (2 х 4)-матрица из (2.2). Следовательно, на (6.3) 1-фор-ма
ш сводится к
(С'(х, и) +С"(х, u)ux)dx.
Здесь две компоненты - это формы, которые должны быть линейно
независимыми для того, чтобы поверхность (6.3) была псевдоголоморф-ной.
Поэтому дифференциальное уравнение
det(C"(a;, и) + С"(х, и)их) = 0. (6-4)
Это уравнение является квадратным по первым производным, если det С" ф 0:
(det С") det их + 1{х, и, их) + h(x, и) = 0,
где функция I линейная по первым производным.
Запишем это представление в стандартной комплексной структуре
u>i = dx 1 + i dyi, и>2 = dx2 + г dy2 (6-5)
так, что всякая голоморфная функция h приводит к голоморфной кривой
Х2 + гу2 = h(x 1 + iyi). Если записать эту кривую в виде
(6.3), то
дифференциальное уравнение (6.4) превратится в
det(7 + iux) = 1 - Aetux + i(uixi + u2x2) = 0.
Чтобы приравнять мнимую часть к нулю, мы положим и\ = 1^2, U2 = - <рХп
гДе функция ip удовлетворяет уравнению Монжа- Ампера
det <рхх - 1.
3. Пример, иллюстрирующий резонансные эффекты. Рассмотрим почти
комплексную структуру
f Wi = dx 1 + i dy\ + ip(x2, yi)dx2,
< (6.6)
I oj2 = dx2 + i dy2 + i dx 1,
418 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
где р = р(х2, 2/i) - действительная, гладкая, Ж2-периодическая функция.
Можно проверить, что в обозначениях (2.3) Д = -4 ф 0. Кроме того, легко
устанавливается, что система (6.6) является интегрируемой тогда и только
тогда, когда
Руг = 0,
(6.7)
т.е. р не зависит от уi.
Дифференциальное уравнение (6.4) для этого примера имеет вид
1 + р + и1х2 + pu2xi - det их + i tr(их) = 0.
Для с > 0 мы найдем специальное решение в виде
Ui = и1(х2), и2 = сх 1,
-Г-^- + р(х2, Ml) + -- 0.
dx2 1 + с
(6.8)
Это уравнение можно рассматривать как дифференциальное уравнение
на торе, и если мы выберем р = - /,
= -Л, то мы получим при-
1 + с
мер (6.1). Обозначим число поворота через р = р(с). Тогда решение имеет
вид
и = Ах + ограниченная функция,
где
А =
0 р
с 0
Для вектора а € С4 в представлении (1.12) мы получим
Аа1
(а 1 \
а2
ра2
\caxj
где а' = ( ^ ) , Im(aia2) ф 0 (6.9)
3 \ ^4
и, следовательно, для j = I ) €
(j, a) = W, a') + (j", Aa') = (j' + A j", a') = (ji + ф)сц + {j2 +
pj3)a2.
§6. Четырехмерный тор Г4. Резонансный случай
419
Таким образом, если р (или с) рациональное, мы получим соотношение (j, а)
= 0 с j ф 0. С другой стороны, если р удовлетворяет диофантову условию
\к + д?з| ^ c~1\h\~r для всех j3 е Z \ (0)
и с диофантово, то а удовлетворяет диофантову условию (1.11). Если \py-
i\c1 мало, то наша теорема определяет гладкое слоение гладко сопряженное
к параллельным плоскостям. В нашем специальном примере такие слоения
получаются из теоремы Эрмана, если р удовлетворяет диофантову условию,
даже без требования малости р. С другой стороны, если р принимает
рациональные значения, соответствующее слоение не будет даже
топологически сопряженным к такому слоению параллельных плоскостей. Это
иллюстрирует тот факт, что в случае обращения в ноль (j, а) для
некоторого j е Z4 \ (0) мы имеем различные феномены.
Заметим, что в примере (6.1) функция / может быть выбрана произвольно
малой, что соответствует малому рУ1. С другой стороны, интегрируемый
случай рУ1 = 0 соответствует линейному дифференциальному уравнению (6.1)
с fy = 0, которое, очевидно, является сопряженным к кронекеровскому
потоку. Это отражает тот факт, что разрушение (break up) кронекеровского
потока встречается только для неинтегри-руемых почти комплексных
структур.
Мы заметили, что для иррациональных рис соответствующие голоморфные
кривые плотны. Можно проверить также, что они имеют тип С, если рис
иррациональны, и тип С*, если р иррационально, а с рационально. С другой
стороны, если р рационально и с иррационально, то мы имеем голоморфные
