Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 134

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 .. 136 >> Следующая

является вполне определенным и удовлетворяет
||F+ - F||r+1 < Nr~q+T+1\\E\\q, К - а| < ||Я||в
для г ^ q и ||E(F+, а+)||в < N 8(1 + ||F||9+s+t+2) +
+ ||F||^+T+2||F||29-A+iV2'-+2||F||2 (8.0)
для s ^ 0, где А = -g Т .
^ ' S+T+1
430 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
Перед тем как представить доказательство, мы соберем несколько общих
оценок. Первая из них показывает, что Е - это смягченный (tamed)
функционал, в смысле [10]: если ||F - F°||9+i + |а - а°| ^ 1, то
||ВД a)||r<l + ||F||r+1,
\\E'(F,a)(V)\\r<\\F\\r+1\\V\\q+1 + \\V\\r+1,
||F"(F, a)(V, W)\\r < ||F||r+1||V'||e+1||W||e+1 +
+ l|y||g+l||W||r+l + ||F||r+i||W||e+i
для r ^ q. Первая оценка следует из определения, вторая - из (5.9),
последняя - из стандартных вычислений.
Сглаживающий оператор Sn, определенный в (5.22), удовлетворяет
соотношениям
\\Бкф-ф\\я^М-г\\ф\\г, s ^ г, (8.1)
НМ. < JV*-r|№||r, Or (8.2)
для N ^ 1, проверяется непосредственно. Наконец, мы имеем логариф-
мическую выпуклость соболевских норм:
1М1аг+(1-а). < \\Ф\\г\\Ф\\1~Х (8-3)
для г, в>пи0^А^1. Для доказательства запишем ||^||t ^
^ ||ф - -S'jv^IU + 11Б n ф\|^, где t = \r + (1 - А)з, применим
сглаживающие оценки и определим минимум правой части по N.
Доказательство леммы 8.5.
Первая оценка вытекает из (8.2) и леммы 5.5, поскольку
||F+ - F||r+1 = ||5лгР||г+1 < 1V'-9+t+1||F||9_j. < JVr-*+T+1||?;||9.
Используя формулу Тейлора с квадратичным остаточным членом i?2 = R2i.F1
се) и равенство (5.21), мы можем записать
F(F+, a+) = F(F, a) +E'(F, a)F + Ea(F, a)a + + F'(F, a)(SN - I)F + R2 = =
E'(F, a)(SN - I)F + (dyE)V + R2.
В первом члене смягченные оценки для Е и (8.2) дают
||F'(F, a)(SN - I)F\\q < IK^jv - I)F\\q+1 < N~°\\F\\q+s+1
§8. Приложение. Юрген Пешелъ (Jurgen Poschel) 431
и ||F||9+e+i < ||?||9+s+t+i < 1 + ||F||9+8+T+2 по лемме 5.5. Во втором
члене мы имеем из леммы 5.5, где г = q + т, неравенство
\\(dyE)V\\q < ||Д||9+т||Я||9 + ||F||9+T+1||F||2.
Из (8.3) и смягченных оценок вытекает
||F||9+t < ||F||1-a||F||*+8+t+1 < ||F||J-a(1 + ||F||9+e+T+2)\
ll-^llg+T+1 < ll-P'llg+l ll-^llg+e+T+2 < 11^11g+e+T-+27
здесь Л такое же, как и в лемме. Из последних трех неравенств получаем
\\(dyE)V\\q < (1 + ||F||9+s+t+2)a||F||2-a.
Квадратичный остаточный член Д2 оценивается стандартным образом. Он дает
третий вклад 1V2t+2||F||2 в неравенство (8.0).
4. Итерационный процесс. Мы не будем давать детальных оценок, укажем
лишь как получить сходящуюся итерационную схему. Положим
Fj/_|_i - Fv Т SnvFv, CKis-j-i - av T olv,
где Fo = F°, "о = а0- Выберем параметры No, к и w так, что No
1,
1 < к < 2, w > 2т + 2. Положим
JV" = JV0"\
Покажем по индукции, что
\\Ev\\q<N~w, (8.4)
||Fv+1 - Fv||r+1 < JVT(r)"°, г ^ q, (8.5)
где E" = E(FV, av) и a = r + 1.
Для v = 0 мы имеем
ll-Eo||g "S |a°| • \\C-C°\\q.
Таким образом, достаточно предположить, что \\С - C°\\q мало, отсюда,
применяя лемму 8.5, мы получим Fi вместе с оценкой Fi - Fq.
432 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
Чтобы продолжить итерационный процесс, мы, во-первых, должны
удостовериться, что ||F" - Fo||e+i остается достаточно малым. По
индукции, используя (8.5), мы получим
v-l
IIF" - F0\\q+1 <С ^ ||FM+1 - FJ9+1 < ^N~a < TV-,
ц=0 ц=0
а это можно сделать сколь угодно малым, потребовав, чтобы No было
достаточно большим. Снова применяем лемму 8.5 и сразу получаем оценку
F"+1 - Fv. Остается оценить Ev+\.
Для этого мы используем грубую индуктивную оценку
\\FV - Fo||9+g+r+2 < Nv_1,
которая получается из (8.5) при г = q + s + а. Теперь, чтобы
сделать
каждую из трех компонент оценки в лемме 8.5 значительно
меньше, чем = N^KW = N~*±w, нужно, чтобы
k2w < (к - l)s - 2а,
As < (2 - к - A)kw,
(2 - k)w > 2а.
Объединив первые два неравенства, получим
As ^ ^ (к - !)" - 2"
< KW < ------------ .
2 - к - А
Вспомним из леммы 8.5, что А = g Т зависит от s и при s -"¦ оо левая
s + а
часть стремится к ^ + Т, а правая часть стремится к бесконечности.
Поэтому мы можем успешно выбрать
2а Ч + т
к € (1, 2), w >
2-к' (2 - к) к
а затем s достаточно большое, чтобы все неравенства выполнялись. Наконец,
выберем Nq достаточно большим, тогда итерационная схема сходится в
Hq+1(T2n) к решению уравнения F(F, а) = 0.
§8. Приложение. Юрген Пешелъ (Jurgen Poschel) 433
Чтобы доказать гладкость решения, надо показать, что Fv сходится в каждом
пространстве Нг. Для этого нужно получить более общие оценки
\\E1/\\r<c1'rN-w, (8.4*)
||Fv+1 - Fv||,+1 < cvrN°-r~a, s > r. (8.5*)
Они аналогичны оценкам (8.4)-(8.5), где виг заменяются на г и q
соответственно и добавляется множитель с^. Для их доказательства
показывается, во-первых, что в лемме 8.5 выполняются также более общие
оценки
||F+ - F||s+1 < ЛГв-'-+'-+1(||Я|||. + ||F||r+1||F||e)
для в)ги
IIE(F+, а+)||г <N 8(1 + ||F||r+s+T+2) +
+ ||F||^S+T+2||F||1-A||F||9 + jv2T+2||?;||r||?;||9.
Остальное доказывается так же, как и раньше с использованием уже
установленных оценок (8.4)-(8.5). Это показывает, что последовательность
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed