КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
интервалов (объединение которых мы назовем Ij) меры
Ij\
\Ij\ < 7ГС0ф'Г°'+Т
406 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
относительно (18. Упорядочив узловые точки j решетки отношением max\jv\ =
N = 1,2,... и заметив, что число таких точек есть
V
0(N2n~1), мы получим, что
СЮ
YJ\Ij\<C2eYJN-<r+T+2n-1
N=1
для некоторой константы сг- Для а > т + 2п этот ряд сходится, и сумму
ряда можно сделать меньшей, чем 2ж. Таким образом, дополнение S1 \ (J Ij
имеет положительную меру, это доказывает утверждение.
i
4. Диофантово условие (4.5) требуется, когда речь идет о комплексном
векторном поле 2п
!/=1
которое порождает Е П L в разложении TM = Е + Е.
Заметим, что в случае, когда L плотна, для любой Z2"-nepHO-дической
гладкой функции р равенство Dip = 0 выполняется, только если р -
константа. Это следует из того факта, что р постоянна вдоль L. Теперь мы
рассмотрим пространство С?°(Т2п) гладких Z2"-пepиoдичecкиx функций с
нулевым средним значением в обычной (700-топологии. Тогда, если
выполняется условие (4.3), то отображение Da: С^(Т2п) ->• СНТ2(tm)),
очевидно, будет инъективным.
Теорема 4.2. Отображение
Da: С^(Т2п) -"¦ С(tm){Т2п)
является изоморфизмом тогда и только тогда, когда а удовлетворяет условию
(4.5) для некоторых констант со, т.
Доказательство основано на представлении Фурье
^ = Е^'е27Г'°',ж)-
зФ О
Тогда Da переводит
Pj -> 2тгi(j, a)pj.
Известно, что для любого изоморфизма множители коэффициентов Фурье, т.е.
(j, а) и (j, а)-1 растут не быстрее, чем степень \j\ (см., например,
[22]).
§5. Схема доказательства основной теоремы
407
Используем норму Соболева
Ы\1 = ^2\Фз\2\Л2г + 1?оГ, гек.
(4.8)
Имеем оценки
ll-^а Ик ^ со||?'||г+т) \\Datp\\r ^ 2тг||^ц г+1-
(4.9)
§ 5. Схема доказательства основной теоремы
1. Метод. Доказательство теоремы из введения будет основано на быстро
сходящемся итерационном методе, который обычно применяют для задач,
содержащих "малые знаменатели". Используются решения линеаризованных
уравнений, полученных при помощи аппроксимации. Эти уравнения образуют
эллиптическую систему с переменными коэффициентами. Здесь обычно
появляются трудности для проблемы малых знаменателей. В нашем случае эти
трудности можно преодолеть благодаря специальной структуре уравнений.
Здесь существует определенное сходство с уравнением Бельтрами, однако
наша система содержит еще и малые знаменатели. После приведения уравнения
к удобному виду, мы покажем, как его можно решить. Мы описали шаги
доказательства. Этого должно быть достаточно, чтобы понять доказательство
любому, знакомому с этой техникой. Детальные оценки будут приведены в
приложении.
Эту проблему можно поставить в виде "сопряженной задачи" в смысле [19]:
нужно определить диффеоморфизм, который переводит неизвестную кривую или
слоение соответственно в комплексную прямую или в слоение с постоянными
коэффициентами. Для этой цели хорошо подходят идеи работы [19], и они
могут быть использованы в доказательстве. В этой задаче нужно вводить
дополнительные параметры для того, чтобы учитывать изменение
асимптотического направления а неизвестной кривой.
2. Аналитическая формулировка. Нас интересуют почти комплексные структуры
J = J(x), близкие к интегрируемой структуре J0 с постоянными
коэффициентами. Запишем уравнения в терминах базиса (2.2) в Е*, заданного
при помощи матрицы С = С(х), близкой к постоянной матрице С0.
408 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
Вернемся к теореме из раздела 1, п. 5. Мы ищем голоморфную кривую х =
/(С), вида
f(0=F(a( + a0, (5.1)
где
F = F(y) =у + Р(у)-, Р € С°°{Т2п). (5.2)
Дифференциальное уравнение для /, заданное формулой (1.16), переходит в
систему
' C(F)DaF = 0
^ - V-- (5-3)
Ра - / , 1 Ра - / , О?/•
!/=1
Таким образом, Da и Da - коммутирующие операторы, определяющие слоение.
Любое решение F = F(у) системы (5.3) такое, что F - у 6 ? (7°°(y2", К2п);
приводит к голоморфной кривой (5.1).
В такой постановке не только F, но и а должно быть определено. Для
невозмущенного состояния С = С0 мы начнем с решения
1>°=у; / = а°С + а°С
\cV>=0. ,М)
Здесь предполагается, что а0 удовлетворяет диофантову условию.
Используя теорему 4.1, мы можем найти параметризацию так, чтобы Rea0
удовлетворяла диофантову условию. Предположим, что мы выбрали а0 так, что
I Re(j, a°)| ^ cQ1\j\~T¦ (5.5)
В этом случае мы можем потребовать, чтобы для возмущенного а выполнялось
Re a = Re a0
так, чтобы а и a° различались только по мнимой части. Тогда для a также
выполнено условие (5.5), а значит и (4.5). С другой стороны, мнимая часть
а обеспечивает достаточное количество параметров для разрешимости
уравнений (5.3). Этот предварительный шаг значительно
§5. Схема доказательства основной теоремы 409
облегчает доказательство. Фиксируя здесь Re Д, мы тем самым задаем
граничное условие на бесконечности.
Заметим, что если F = F(y), а - это решение, то F(y + с), а, где с ? М2",
- это также решение. Для того чтобы однозначно определить решение,
