КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
найдутся различные точки Съ Сг ? С такие, что /(Cl) +7 = /(Сг) для
некоторого 7 е Г , но /(Ci +С) +7 Ф /(Сг + С)-В случае п = 2 можно
показать, что такая голоморфная кривая не имеет самопересечений, только
если образ отображения /(С) является комплексной прямой. Это и есть
теорема Бангерта (см. ниже теорему 3.3 и раздел 7). Поэтому мы
ограничимся случаем линейных функций /(С).
В вещественном представлении эти кривые задаются в виде х = /(С) = а( +
а(, а 6 С2п \ (0),
где условие
JTa = -ia (1.9)
гарантирует, что это является голоморфной прямой, которую мы обозначим
через L = /(С). Через р обозначим проекцию М2га ->¦ Т2п = = Ж2п/Ж,2п.
Голоморфная кривая p{L) может быть конформно эквивалентной С, С* или 2-
тору. На самом деле это зависит от ранга г решетки LnZ2(tm). Очевидно, эти
три случая отвечают значениям г = 0, 1 или 2 соответственно. Только
последний случай соответствует компактному вложению. В двух некомпактных
случаях может оказаться, что p(L) плотно на Т2п или, что эквивалентно, L
+ Г плотно в М2(tm). Необходимым и достаточным условием для плотности этой
кривой является условие
2 п
^2/ju^u ф о ДЛЯ всех j е ъ2п \ (0), (1.10)
1/=0
или, что эквивалентно, Г-1- П L1- = (0), где L1- - это пространство
двойственное к L, а Г-1- - это двойственная решетка. В случае плотной
комплексной прямой L замыкание ее сдвигов порождает семейство
параллельных прямых
/(С) - аС + аС + /3, Р ? м2(tm).
390 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
Они образуют листы слоения, заданного действительной и мнимой частями
комплексного векторного поля
2 п
v=l
5. Основной результат о сохранении. Чтобы изучить вопрос о сохранении
голоморфных кривых, рассмотрим семейство почти комплексных структур
непрерывно зависящее от параметра е; мы предполагаем, что "7° постоянна,
т. е. определяет комплексную структуру. Спрашивается, можно ли продолжить
"7°-голоморфную кривую, скажем /(?) = "С + Щ), до "7?-голоморфной кривой
/?(С), (/°(С) = /(С)) с аналогичной топологической структурой. Если такое
продолжение существует для каждой структуры J1, мы говорим о сохранении
голоморфной кривой /°.
Замечание. Голоморфный тор на Сп/Г со стандартной комплексной структурой
Jo никогда не сохраняется в том смысле, что он не может быть продолжен до
Де-голоморфного тора для некоторой выбранной структуры JE. Действительно,
постоянные комплексные структуры, не допускающие голоморфных подторов,
являются плотными. Это справедливо даже для подкласса абелевых торов, для
которых J должна удовлетворять римановым соотношениям (см. раздел 3,
предложение 3.1).
С другой стороны, для некомпактных Д°-голоморфных кривых х = = /(?) = а(
+ а( мы имеем следующий результат о сохранении. Предположим, что для
вектора а ? С2п \ (0), кроме условия ((J°)T + г)а = 0, выполнено
диофантово условие. Для некоторых положительных чисел со, т имеет место
неравенство
Для г > п - 1 почти все комплексные вектора а удовлетворяют такому
условию. Это условие сильнее, чем (1.10), поэтому проекция этой
комплексной прямой плотна на торе.
Теорема. J0 -голоморфная прямая х = + аС,- удовлетворяю-
щая диофантову условию (1.11), сохраняется. А именно, для любой почти
комплексной структуры JE = J° + e,J1{x, е), непрерывно зависящей от е,
существуют при достаточно малом |е| вектор аЕ ? С2(tm)
J? = J° + eJ1{x, е), (JE)2 = -id,
для всех j ? Z2" \ (0). (1-11)
§ 1. Результаты. Открытые проблемы
391
и функция Р(-, е) 6 С°°(Т2п, М2"), непрерывно зависящие от е, такие, что
а0 = а, и отображение
Г (С) = аЕС + аЕС + еР(аЕС + cf(, е) (1.12)
является Je -голоморфной кривой, проекция которой плотна на Т2п.
Замечание 1. Решение /е не является единственным. Тем не менее, мы
построим единственное решение при помощи специальной нормализации.
Заметим, что изменение параметризации ? -У А_1?, А е С* приводит к замене
а на Аа. Можно выбрать А ? С, |А| = 1 так, чтобы Аа, которое мы снова
обозначим через а, удовлетворяло диофантову условию
Re
с показателем р > т + 2п. Выбрав параметризацию таким образом, найдем
решение а6, f? с дополнительным свойством так, что
Rea" = Rea (1.13)
не зависит от е. Теперь решение а", /" единственно с точностью до сдвига
? -" ? + const. Кроме того, нормализация гарантирует, что кривая
(1.12)
плотна в Т2п для всех малых |е|, поскольку диофантово условие
(1.11') вы-
полнено для всех таких е.
Замечание 2. Утверждение также можно сформулировать следующим образом.
Диффеоморфизм
у ->¦ х = F?(y) = y + ePs(y, е) (1.14)
тора Т2п переводит кривую
у = а?( + а?( (1-15)
в заданную ./"-голоморфную кривую. Конечно, почти комплексная структура,
для которой (1.15) является псевдоголоморфной кривой, не задана априори,
а получается апостериорно из J? после преобразования (1.14).
Замечание 3. Замыкание сдвигов кривой х = /"(С) относительно
фундаментальной группы Ъ2п приводит к голоморфному слоению, которое
является сопряженным к слоению, натянутому на действительную и мнимую
