КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
С*-вложения, которые не плотны на Т2. Они соответствуют изолированным
периодическим траекториям уравнения (6.1) наряду с соотношением у2 - схi
= const. Наконец, если р и с рациональны, то имеется однопараметрическое
семейство Г2-вложе-ний, заполняющих трехмерный подтор. В последних
случаях мы имеем пример голоморфных С* или Г2-вложений, к которым
асимптотически приближаются другие голоморфные кривые.
4. Пример изолированных сохраняющихся псевдоголо-морфных вложений. В
разделе 2 мы видели, что голоморфные вложения тора либо являются
изолированными, либо сохраняются, если комплексная структура задается
постоянной матрицей. Аналогичное
420 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
утверждение имеет место для близких интегрируемых комплексных структур,
поскольку они являются сопряженными к постоянной комплексной структуре.
Тем не менее, как будет показано в следующем примере, для почти
комплексных структур могут существовать изолированные и сохраняющиеся
вложения тора.
Пример. Тор Т2 = {(х, у) е Т4, у = 0} является голоморфным относительно
почти комплексной структуры, заданной соотношениями
{u>i = dx 1 + т dx 2,
1 _ (6-Ю)
W2 = dyi +i dy2 + 2ф((а + b) sin27n/i + i(a - b) sin2wy2)ui1,
где a = a(x), b = b(x) - гладкие Ж2-периодические функции и т € С, 1шт >
0.
Мы покажем, что для а = 0 и ненулевого постоянного b этот тор является
изолированным и сохраняется.
Представим близкие поверхности как графики в виде Vl=fl(z), 1/2 =/2(z), Z
= X1+TX2.
Эта поверхность является голоморфной, если величина
d(fi + if2) + + b) sin 27r/i + г (а - Ъ) sin27r/2) dz
кратна u>i = dz. Другими словами, комплексная функция / = /1 + г/2 должна
удовлетворять уравнению
h + + Ъ) sin2wfi + i(a - b) sin27r/2) = 0.
Тривиальное решение / = 0 соответствует нашему тору Т2. Чтобы доказать,
что он является изолированным и сохраняющимся, достаточно показать, что
линеаризованное уравнение
h + af + bf = g (6.11)
имеет единственное решение для любой функции g 6 С°°(Т2, С). Поскольку
индекс этого оператора равен нулю, достаточно доказать единственность в
классе Ж2-периодических функций. Конечно, здесь рассматривается не общий
случай, а частный, при некоторых условиях на а и Ъ. Если а = 0, b =
const, то из
h + bj = 0
следует _ _____
fzz = -b(f)z = -b(h) = \b\2f.
§ 7. Доказательство теоремы Бангерта
421
Следовательно, умножая это на / и интегрируя по частям, мы получим
откуда следует, что / = 0, если Ъ ф 0.
Заметим, что линеаризованное уравнение для голоморфного тора для
произвольной почти комплексной структуры может быть записано в виде
(6.11), где предполагается, что а = const. Это относится к изучению
нормальных форм и инвариантов почти комплексных структур на нормальном
расслоении голоморфного тора, которые будут представлены в других
работах. Однородный вид уравнения (6.11) встречается в теории
псевдоаналитических функций (см. [4]).
Если комплексная структура является интегрируемой, то Ь = 0. Можно
рассматривать |Ь| как меру неинтегрируемости почти комплексной структуры.
Не удивительно, что условие Ъ ф 0 необходимо для единственности решения.
§ 7. Доказательство теоремы Бангерта
1. Вернемся к теореме 3.3. Автор обязан следующим доказательством
В.Бангерту, который сообщил о нем в письме 13 октября 1992 г. и любезно
разрешил его здесь представить. Мы рассматриваем комплексный тор Т4,
который мы представим, как обычно, в виде С2 /Г, здесь zi, Z2 -
комплексные координаты, Г - решетка ранга 4. Нас интересуют голоморфные
С-вложения
которые при проекции на Т4 не имеют самопересечений.
Теорема 7.1. Если / - это непостоянное голоморфное отображение из С в С2
и если
для всех 7 6 Г \ (0), то /(С) содержится в комплексной прямой.
Перед тем как привести доказательство, мы обсудим простейший случай,
когда Г = Гг х Гг - стандартная решетка точек с целыми
/: С -"• С2,
(7.1)
/(С)П(/(С)+7) =0
(7.2)
422 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
координатами, кроме того, предполагаем, что отображение задается как
график
zi =(, z2 = h( С).
В этом случае предположение (7.2) означает, что
л(С + 7)-МС) ?Г2
для всех 7 6 Г2 \ (0). Следовательно, левая часть - это целая функция, не
принимающая целых значений из Г2, значит, по теореме Пикара, она
постоянная. Следовательно,
Л'(С + 7)-Л'(С)=0
для всех 7 6 Г2, поэтому h'(() - двоякопериодическая, а значит,
ограниченная функция. Из теоремы Лиувилля следует, что h - линейная
функция.
Доказательство теоремы в общем случае также использует теорему Пикара и
некоторые простые методы из гиперболической геометрии, к которой мы
сейчас обратимся.
2. Теорема Броди (Brody). Для голоморфной функции /: С->С2 и диска Dr
= {( е С, |С| < г} введем неевклидову норму
г2 - ICI2 И/'ЮН^Ч/ЧС)!-
ДЛЯ |С| < г и
\\f\\Dr = sup H/'(C)||d", (7.3)
CeDr
где /' означает ^-производную. Эта норма инвариантна относительно
обобщенного преобразования Мебиуса, переводящего диск DT в другой диск,
