КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
определяются из вариационной задачи, аналога которой нет в комплексном
случае. Кроме того, геодезические описываются обыкновенными
дифференциальными уравнениями (второго порядка), а голоморфные кривые
получаются как решения эллиптической системы первого порядка. Из того
факта, что система имеет первый порядок, следует, что асимптотическое
направление, обозначенное в нашей теореме через ае, не может быть
фиксированным, но зависит от почти комплексной структуры JE. Для системы
первого порядка остается неясным, как выбирать граничные условия; вектор
а соответствует, в некотором смысле, граничному условию на бесконечности.
Напротив, асимптотический наклон минимальной геодезической может быть
выбран произвольно, как уже было замечено Хедлундом (Hedlund) [3, 11].
Что касается вариационного принципа, который отсутствует для голоморфных
кривых, мы упомянем, что в случае симплектической структуры, смягченной
формой J, он присутствует, псевдоголоморфные кривые являются минимальными
поверхностями относительно соответствующей метрики. Это следует из
неравенства Виртингера. Тем не менее, этот вариационный принцип, заданный
через площадь поверхности, ограничен в применении, поскольку
псевдоголоморфные кривые
§ 1. Результаты. Открытые проблемы
395
определяют лишь малый подкласс экстремалей. И, конечно, для
доказательства существования не могут быть использованы прямые методы
вариационного исчисления.
Новизна представленного результата состоит в том, что сохраняются
слоения, листы которых не имеют ни размерности один (как в гамильтоновой
теории), ни коразмерности один. Сошлемся здесь на теорию устойчивости
минимальных поверхностей на торах большей размерности [20, 21]. Эти
минимальные поверхности имеют коразмерность один и задаются одним
эллиптическим уравнением в частных производных второго порядка. Можно
было бы ожидать подобного результата для производной эллиптической
системы на торе. Хотя это кажется маловероятным; отметим, что
доказательство нашей теоремы зависит от особой структуры уравнения,
которое напоминает уравнение Бельтра-ми, хотя появляются еще малые
знаменатели (см. раздел 5).
8. Открытые проблемы.
1) По аналогии с теорией Обри-Мезера (Aubry-Mather) для монотонных
скрученных отображений, допускающих большие возмущения, возникает вопрос
о теоремах существования псевдоголоморфных кривых на Т4 для больших
возмущений, или, например, для формы J, смягченной некоторой заданной
симплектической 2-формой.
2) В обобщении теоремы Бангерта о голоморфных кривых без самопересечений
возникает вопрос об априорных оценках для псевдоголоморфных кривых без
самопересечений: существует ли константа 6, зависящая только от J, такая,
что для каждой псевдоголоморфной кривой без самопересечений расстояние от
нее до некоторой двумерной плоскости меньше, чем 67 Здесь мы
ограничиваемся тором Т4 и используем метрику, например, заданную
фиксированной 2-формой, смягченной формой J.
3) Существуют ли псевдоголоморфные кривые, не плотные в Т4, которые не
лежат на торах меньшей размерности? (Аналоги минимальных множеств в
теории Мезера).
9. План. В разделе 2 мы введем необходимые обозначения и получим
дифференциальные уравнения для псевдоголоморфных кривых. В разделах 3 и 4
мы обсудим слоения голоморфных кривых в интегрируемом случае, включая
теорему Бангерта. Основная теорема о сохранении некомпактных
псевдоголоморфных кривых будет переформулирована в разделе 5; кроме того,
там же будет предложена схема доказа-
396 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
тельства. В разделе 6 мы приведем пример, иллюстрирующий эффект
резонансов, т. е. рациональных отношений компонент вектора а. В седьмом
разделе будет представлено доказательство теоремы Бангерта.
§ 2. Почти комплексная структура на Т2п
1. В этом разделе мы введем некоторые обозначения, которые понадобятся
нам в дальнейшем. В частности, мы представим дифференциальные уравнения
для псевдоголоморфных кривых.
Мы ограничимся рассмотрением тора М = Т2п = M2n/Z2n, где решетка Г = Z2(tm)
фиксирована. Соответственно зафиксируем координаты х = (xi, ... , Х2п) ?
М2(tm), в которых Z2(tm) отвечает целым векторам. Любая почти комплексная
структура на М2(tm) задается изоморфизмом J(x) слоев ТхМ2(tm), удовлетворяющим
соотношению J2 = -id] мы определим структуру при помощи матрицы ("Л/д),
как это описано в (1.5). Структура проектируется на тор, если J(x)
является Z2n-nepn-одичной.
Почти комплексную структуру можно задать другим способом при помощи
расщепления
С (g) ТМ = ТСМ = Е +Ё, ЕПЁ = О,
где Е = ker(J + il). Таким образом, J соответствует отображению ^ ->¦ -г?
для ? 6 Е. Наконец, третье представление почти комплексной структуры
задается при помощи расщепления комплексифицированно-го кокасательного
расслоения
Т^М = Е* +Ё*, Е* ПЁ* = 0, (2.1)
где Е*(Е) = 0. Все представления эквивалентны, и мы, в основном, будем
пользоваться последним.
2. Выберем базис и>i, и>2, ... , и>п комплексных 1-форм в Е*. Мы будем
