Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 125

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 136 >> Следующая

Т2п только тощее множество допускает двумерные голоморфные торы.
Множество в топологическом пространстве называется тощим, если оно
представимо в виде счетного объединения множеств меньшей размерности. В
частности, дополнение до тощего множества является плотным. Как следствие
отсюда вытекает, что голоморфные 2-торы не сохраняются, поскольку они
исчезают при возмущении комплексной структуры.
Мы докажем предложение 3.1 в пятом пункте. Заметим, между прочим, что в
этих рассуждениях несущественно, что комплексная структура определяет
алгебраический тор. Достаточно потребовать, чтобы матрица С удовлетворяла
римановым соотношениям: для некоторой обратимой антисимметричной целой
матрицы А = - АТ выполнены условия (см. [6, 25])
СА~гСт = 0, (СА~гСт положительно определена. (3-4) Это соответствует
поляризации, заданной 2-формой ^2avfldxv Л dx
IS fj,
где (avfl) = А. Комплексные структуры на Т2", удовлетворяющие таким
условиям, называются алгебраическими торами. Поскольку мы не требуем этих
условий, на наших торах могут не существовать непостоянные мероморфные
функции. В известном смысле, наша задача немного грубее. Кроме того,
голоморфные торы также существуют только для алгебраических торов (T2n,
"/), ниже будет приведен пример.
4. С другой стороны, для цилиндрических вложений имеет место:
Предложение 3.2. Для заданной постоянной комплексной структуры J и узла
решетки j ? Z2(tm) \ (0), существует единственная J-голоморфная прямая L,
содержащая j и начало координат-, следовательно, r(L) 1.
Доказательство элементарно: векторы j и Jj порождают требуемую "/-
голоморфную прямую L, поскольку они линейно независимы.
Чтобы представить эту прямую в виде (3.1), заметим, что существует ( ? С
такое, что j = (а + (а. Мы можем предполагать, что ( = 1,
§3. Интегрируемый случай. Теорема Бангерта 401
так что Cj = С а, поскольку С а = 0. Из этих соотношений вытекает
а = BTCj. (3.5)
Действительно, в силу (2.6") из (3.5) следует Са = 0 и Са = Cj. Таким
образом, для выбранного а требуемая прямая L задается соотношением (3.1).
В конечном счете, большинство голоморфных прямых L не содержит никакого
узла решетки, т.е. r(L) = 0. Они представляют С-вложения.
5. Доказательство предложения 3.1. Заметим сначала, что J-голоморфное
вложение /:€!->• М2", для которого г(/(С) П Z2") = 2, задается линейным
отображением вида (3.1). Это легче всего увидеть в комплексной форме:
компоненты функции F(Q = Сf(() - это целые функции в обычном смысле.
Кроме того, если F(C) = F(C) + 7 для некоторого 7 ? Г = CZ2", 7 ф 0, то
F(A< + /0 =F(<)+7,
где А = 1, поскольку замена параметра ( ->• + р должна быть свобод-
ной от неподвижных точек. Следовательно, /''(С)ПГ обратно отображается на
решетку Г2 С С. Поскольку отображение F'(() является Гг-пе-риодическим,
оно постоянно, и поэтому F(Q линейно.
Чтобы описать многообразие С(Т2п) постоянных комплексных структур через
локальные координаты, напомним, что матрицу С можно заменить матрицей ACU
без изменения комплексной структуры, здесь А ? G1(C"), U - унимодулярная.
В окрестности фиксированной матрицы С = С0 мы можем добиться при помощи
правого умножения, чтобы
С = (С1!, С2), det С\ ф 0,
поскольку rank(C) = п. С помощью левого умножения мы получим С\ = I, т.е.
матрицу С локально можно выбрать в виде
С = (I, W), det(Im W) ф 0. (3.6)
Мы можем использовать компоненты матрицы W в качестве координат
многообразия С(Т2п), комплексная размерность которого, таким образом,
равна и2.
Теперь мы опишем условия на С или на W, при которых допускается
голоморфный тор. А именно, зададим два линейно независимых узла
402 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
решетки j, к ? 1?п. Спрашивается, при каких условиях на С прямая L
содержит 0, j и к. Это выполняется, если
для некоторых (д, ?2 6 С. Следовательно, комплексные векторы Cj и Ск С-
линейно независимы. (Ограничимся в нашем доказательстве случаем п = 2.)
Это означает, что матрица С должна удовлетворять квадратичному
соотношению
Используя сокращение [г/, р] = j^k^ - и специальный вид (3.6) матрицы С,
мы найдем
Qjk = [1, 2]-"jn[2, 3] - ги12[2, 4]+u>21[1, 3]+u>22[l, 4]+detW[3, 4],
(3.7)
где wu/1 - компоненты матрицы W. Очевидно, если 1, w±±, w 12, 1, W22
и det W рационально независимы, то [г/, /г] = 0 для всех v, ц = 1, 2, 3,
4. Следовательно, j, к должны быть линейно независимы. Это показывает,
что квадратичные соотношения Qjk(W) = 0 нетривиальны, если j, к линейно
независимы, и они локально определяют тощее множество, о котором было
упомянуто в предложении 3.1.
Приведем пример алгебраического тора Тп, не содержащего голоморфных 2-
торов. Для этой цели возьмем
с положительно определенной матрицей V. Тогда римановы соотношения (3.4)
выполняются с матрицей
с действительными а, (3, 7, ё, удовлетворяющими условиям /3 = 7, а > 0, ё
> 0, аё - /З7 > 0. Можно проверить, что в случае, когда
j = aOi+a(i, к = а(2+а( 2,
Qjk = det(Cj, С к) = 0.
C=(I,W); W = U + iV = WT
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed