КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
потребуем, чтобы периодическая функция F(y) - y имела среднее значение,
равное нулю. Среднее значение будем обозначать через [], т. е.
[F -F°]= 0
3. Утверждение. Задача сводится, таким образом, к нахождению решения F, а
системы (5.3).
Теорема 5.1. Рассмотрим постоянную матрицу С0 и а0 ? С2" такие, что
выполнены условия (5.4) и (5.5). Тогда существуют
(iдостаточно большое) натуральное число I и для любого е >
0 поло-
жительное ё = ё(е, I) такие, что для любой матрицы С ? С°°(Т2")
\\С-С°\\г<ё
(в норме Соболева, определенной равенством (4.8)) система (5.3) обладает
гладким решением F, а таким, что F - F0 ? С°°(Т2п) и
\a-a°\ + \F-F°\ci <е. (5.6)
Далее, F и а удовлетворяют условиям нормализации
Г [F - F0] = 0,
< J ' (5.7)
\ Re(a - а0) = 0.
Кроме того, решение F, а, нормализованное таким образом, определяется
однозначно и непрерывно зависит от параметров.
4. Линеаризованные уравнения. Рассмотрим функционал
E(F, а) = C(F)DaF,
для которого мы будем искать нули в соответствующем функциональном
пространстве. Сперва мы действуем формально, предполагаем, что F, а
представляет приближенное решение, т.е. ||E(F, а)|| мало в некоторой
норме. Мы стремимся построить лучшую аппроксимацию F + + F, а + а, где F
? С°°(Т2п, М2(tm)), [F] = 0, га ? М2" в силу нормализации (5.7). Мы будем
использовать модифицированный метод Ньютона,
410 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
чтобы определить поправку F, а. В методе Ньютона требуется, чтобы
E'(F, a)F + Ea(F, а)а + E(F, а) = 0, (5-8)
где _ _
Г E'(F, a)F = C(F)DaF + ? FVCX, (F)DaF I _ " (5.9)
[ Ea(F, a)a = C{F)Fya.
Здесь нижний индекс у обозначает частную производную по у.
Мы модифицируем эти уравнения, используя метод "вариации постоянных". Для
этого заметим, что функционал E(F, а) не зависит явно от у, т. е. он
коммутирует с у-сдвигами. Поэтому дифференцирование по у дает
dyE(F, а) = C(F)DaFy + j ^ F^d^ C(F) J DaF.
Следовательно, если мы предположим, что Fy близко к тождественному
отображению, и представим неизвестную F в виде
F = FyV; V ? С°°(Т2п, М2"), (5.10)
то мы получим тождество
E>(F, a)(FyV) - (dvE(F, a))V = (C(F)Fv)DaV.. (5.11)
Отбросив член (дуЕ) • V второго порядка малости, мы заменим (5.8)
модифицированным линеаризованным уравнением
(C(F)Fv)(DaV + S) = -E{F, а). (5.12)
Заметим, что для однородного уравнения, т. е. когда Е = 0, мы найдем по
теореме 4.2 V = const, а = 0, что и требовалось на этом шаге.
5. Комплексная форма уравнения 5.12. Чтобы решить систему (5.12), мы
будем предполагать относительно постоянной С0, что из неравенств
\Fy-I\<S, | С-С°\<6
для некоторого малого ё следует, что
\C(F)FV - С°\ = 0(6).
§5. Схема доказательства основной теоремы
411
Вспоминая, что а = г<т; (а 6 Ж2") - чисто мнимое число, мы выразим V, а
через комплексные величины
Г W = C°V е С°°(т2п, С"), [к = С0а = iC°a € С".
Заметим, что С0 определяет обратимое отображение из Ж2(tm) в что а
однозначно восстанавливается по к.
Используя формулу (2.6"), мы получим
(5.13)
V = AW + AW
л А=(В°)Т (5.14)
а = Ак - Ак
DaV + а = A(DaW - к) + A(DaW + к). Подставляя это в (5.12), мы найдем
(I + P1(y))(DaW-K)+ Р2(у)(DaW + к) = -E(F, а),
где Pi = (C(F)Fy - С0)А и Р2 = (C(F)Fy - С°)А, следовательно, |Р*| =
О(ё), i = 1, 2. Умножая на (I + Pi)-1, мы получим уравнение
(DaW - к) +Q(DaW + к) = G, (5.15)
где Q = (I + Pi)-1P2, G = -(I + Р\)~1Е. Здесь Q(y) - комплексная (п х и)-
матрица, \Q(y)\ = 0(6) и G € С°°(Т2п, С"). Мы будем решать
линеаризованное уравнение, записанное в такой форме.
6. Сингулярный оператор U (преобразование Гильберта).
Перед тем как решать уравнение (5.15), отметим его сходство с
неоднородным уравнением Бельтрами
d^u = iid(U + g, \ц\ < 1
(см., например, [1], [17]). Здесь операторы Da, Da отвечают операторам
д^, соответственно. В этой теории ключевым моментом является
использование сингулярного интегрального оператора
Hf=-4fg5?d(d'>'
который отображает д^и в д^и. Этот оператор называется преобразованием
Гильберта. Это ограниченный оператор в Lp, 1 < р < оо. Нам понадобятся
только простые Х2-оценки в норме Соболева.
412 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
В нашем случае мы определим аналогичный оператор U, переводящий Da<p - к
в Dap + к. Мы представим U в терминах ряда Фурье: если
Лемма 5.2. Пусть Нг(Т2п) означает пространство Соболева, полученное как
замыкание множества гладких Z2(tm)-периодических функций в норме || • ||г,
определенной в (4.8). Тогда оператор
является унитарным для всех действительных значений г.
Доказательство очевидно и просто вытекает из \pj\ = 1. Здесь требуется
только рациональная независимость av, а не диофантово условие.
С помощью этого простого факта затруднительно решить уравнение (5.15). Мы
введем антилинейный оператор
который также сохраняет форму. Тогда систему (5.15) можно переписать в
виде
с неизвестным комплексным и-вектором Z.
7. Решение линеаризованного уравнения. В дальнейшем мы используем
