КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
скажем, Dp.
Предложение 7.2. Если ф - (обобщенное) преобразование Мебиуса
ф: Dr -"¦ Dp = ф(Ог) С Dr,
mo
Ш°Ф)'\\ог = \\f'h(Dr.)- (7.4)
Это утверждение доказывается непосредственно, его можно найти в [16].
Кроме того, для 0 < р < г выполнено
\rmP < \\r\\Dp < ?\\п0г. (7.5)
§ 7. Доказательство теоремы Бангерта
423
Следующее предложение о параметризации принадлежит Броди (Brody), см.
[5,16].
Предложение 7.3. Пусть / удовлетворяет условию |/'(0)| = 1, и пусть д -
любое число из (0, 1). Для любого г > 0 существует преобразование Мебиуса
ф: DT -"¦ xj){Dr) = Dp С DT такое, что функция g = = f о ф удовлетворяет
соотношениям
Для удобства записи аргумент опустим: для р ? (О, г) выражение Н/'Нпр -
это непрерывная функция, принимающая значение О при р = 0 (по формуле
(7.5)) и значение ^ г при р = г. Следовательно, можно выбрать р так,
чтобы
Супремум, определяющий левую часть, выбран; следовательно, существует С*
? Dp такое, что
Теперь выберем преобразование Мебиуса ф, переводящее Dr на Dp так, чтобы
ф(0) = С*- Тогда функция g = / о ф удовлетворяет требуемым условиям, так
как по формуле (7.4)
Поскольку g(O) = /(С*): мы заключаем, что |g^(0)|r = ||^||дг = дг,
следовательно, 1,^(0) | = д. Это доказывает предложение.
3. Применим это предложение для того, чтобы доказать следующую лемму.
Лемма 7.4. Пусть 0 < д < 1. Предположим, что голоморфное отображение
(7.1) удовлетворяет условию |/'(0)| = 1. Тогда существуют
последовательность rv -у оо преобразования Мебиуса фи: DTv^DPv и ? Г
такие, что последовательность
сходится равномерно на компактных множествах в С к линейной функции g(w)
= aw + b, |а| = д > 0.
Ig-'(O)! = д, |g"K
\\f'\\Dp=^r.
р2 - 1C* I2
1ЯОГ р 1 =ll/'lk = ^.
\W\\Dr
ll/'lk = <?r.
gv = f о фи~ lv
(7.6)
4240 сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
Это утверждение следует непосредственно из предложения 7.3. Выберем для
любого г > 0 отображение фг: DT -"¦ Dр как в предложении 7.3 и 7Г ? Г
такие, что
|/о Vv(0) -7г| ^ М, где М - диаметр тора. Следовательно, для gr = f о
фг(0) - 7Г имеем
|gr(0)| ^ М, \gT{w)\ ^ для w е Dr.
1 _ н!
г2
Следовательно, gr образует нормальное семейство, имеющее
подпоследовательность, скажем gv, соответствующую г" -? оо, которая
сходится равномерно на компактных множествах к функции g = g(w).
Поскольку
Is'MI "S l^(o)| =
отсюда следует, что g = aw + b, |а| = i? > 0.
Отметим, что эта лемма не использует ограничений на рост функции /.
4. Эта лемма обеспечивает нам направление прямой, которую мы ищем. На
самом деле, наша цель - показать, что аг/i - ai/г постоянная. Возьмем с =
(аг, -ffli), |с| > 0 и предположим, что функция (с, /(С)) не постоянная.
По тереме Пикара она принимает комплексные значения, но не более чем
одно. Это приводит к противоречию с нашим предположением (7.2).
Мы можем выбрать 7 € Г так, что 7^ ф 7 для больших v и так, что функция
(с, /) принимает значение (с, & + 7). Таким образом, существует (* 6 С
такое, что
(с,/-&- 7)= 0 для ( = (*. (7.7)
Отсюда следует, что две кривые
z = f(() и z = g(w) + 7
пересекаются в точке z = /(С*)- Действительно, по формуле (7.7)
существует ю* ? С такая, что
/(С*) = Ь + 7 + aw* = g(w*) + 7.
§ 7. Доказательство теоремы Бангерта
425
В силу нашего предположения о том, что (с, /) не постоянно, это
изолированное пересечение, и поэтому кривые
z = f(C) и Z = gv(w)+J пересекаются при С = -"¦ С*, w = wv -i> w*, т.e.
/(Сг/) = gu{wv) +7 = / ° - lu + 7-
Это доказывает, что /(Сг/) принадлежит
/(C)n/(C)-7v+7-
Поскольку 7 ф это приводит к требуемому противоречию.
5. В предположениях теоремы 7.1 /(С) лежит на комплексной прямой. Если мы
предполагаем дополнительно, что отображение / инъ-ективно, то / сама
является линейной функцией, поскольку любое инъективное отображение из С
в себя является линейным. Это доказывает теорему 3.3. Действительно, для
любой голоморфной функции h инъективной (однолистной) в диске Dr радиуса
г, имеется оценка
|Л"(0)| ^ ^|/i'(0)|, из которой следует, что если h инъективно, то Н" =
0.
6. Мы не можем пройти мимо аналогий с теорией Денжуа, которые возникают в
связи с этой теоремой. Напомним, что теорема Денжуа была описана в
разделе 6, пункт 1. В случае векторного поля (6.1) на торе не существует
периодических решений (которые эквивалентны случаю иррационального р),
топологически сопряженных к кронекеров-скому потоку. Это предположение
равносильно тому, что
У(х + j) ~ у(х) ф Ж, если j е Z \ (0),
и его можно сравнить с нашим предположением (7.2) в комплексном случае. В
случае комплексной кривой это прямая линия. Аналогия прослеживалась бы
более отчетливо, если бы мы стартовали с интегрируемой комплексной
структуры, не заданной постоянными коэффициентами. Если такая комплексная
структура может быть сопряженной к структуре с постоянными
коэффициентами, то любая не самопересе-кающаяся голоморфная кривая имеет
ограниченное расстояние до некоторой плоскости, здесь ограничение не
зависит от кривой. Это должно было бы обеспечить ответ на открытый вопрос
