КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
F" сходится в каждом пространстве Hr+1.
Наконец, мы укажем, как доказать локальную единственность. Предположим,
что существует другое решение E(F*, а*) = 0 в области ||F - F°||9+1 + |а
- а°| < 6. Пусть
F* = F + F, а* = а + а,
где F(F, а) = 0. По формуле Тейлора с квадратичным остаточным членом
i?2(F, 5) мы имеем
E(F*, а*) = E(F, а) + F'(F, a)F + Ea(F, а)а + R2,
следовательно, F'(F, a)F + Ea(F, a)a + R2 =0. Кроме того, поскольку F(F,
a) = 0, мы также имеем (dyE)V = 0 для V = F~XF и поэтому
F'(F, a)F + Ea(F, a)a, + R2 = (dyE)V.
К этому уравнению мы можем применить лемму 5.5 с R2 вместо Е и получить
оценку
||F||9_* + |S|<||F2||9<||F||2+1 + |S|2.
4340 сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
Из интерполяционных неравенств следует ||F||g+1 < ||-Fl|g_T||F||g_/i с /х
= 3/2 и с некоторым подходящим s. Поскольку ||F||S = ||F* - F||s
равномерно ограничено для локальных решений, используя оценки предыдущего
параграфа и последнюю оценку, мы получим
\\F\\q-r + |й| < \\F\\2~4FK-t + |5|2 < (П-r + \а\Г,
ИЛИ
1 < ll-^llg-T + |S| ^ ll-Fllg+l + |S|.
Это показывает, что в окрестности ||F - F°||e+i + |а - а°| < S', которая
может быть выбрана меньше, чем исходная окрестность, решение уравнения
F(F, а) = 0 должно быть единственно.
Благодарности. Эта работа восходит к вопросу, поднятому Громовым, о
комплексном аналоге результатов работы [19] о сохранении минимальных
поверхностей коразмерности 1. Автор благодарит его за интересные
обсуждения этой темы. Особую благодарность автор выражает В.Бангерту (V.
Bangert), который предложил свое превосходное доказательство теоремы 7.1.
В ходе этой работы автор извлек много полезного из содержательных
дискуссий с Д. Бернсом (D. Burns), К. Фефферманом (С. Fefferman), Р.
Нарасимханом (R. Narasimhan), С. Вебстером (S. Webster) и 3. Ие (R. Ye).
За помощь в подготовке рукописи автор благодарит С.Куксина и Ю.Пёшеля.
Существенное упрощение техники оценивания принадлежит Пёшелю, эти оценки
включены в пятый раздел и в приложение.
Литература
[1] L. Ahlfors, L. Bers, Riemann's mapping theorem for variable metrics,
Ann. Math. 72 (1960), 385-404.
[2] V.I. Arnold, Proof of A. N. Kolmogorov's theorem on the preservation
of quasi-periodic motions under small perturbations of the Hamiltonian,
Usp. Mat. Nauk SSSR 18 (1963), 13-40.
[3] V. Bangert, Mather sets for twist maps and geodesics on tori,
Dynamics Reported 1 (1988), 1-56.
[4] L. Bers, An outline of theory of pseudoanalytic functions, Bull. Am.
Math. Soc. 62 (1956), 291-331.
Литература 435
[5] R. Brody, Compact manifolds and hyperbolicity, Trans. Am. Math. Soc.
235 (1978), 213-219.
[6] S. S. Chern, Complex manifolds without potential theory, (second
edition) Universitext. Springer: New York Heidelberg Berlin, 1979.
[7] E. A. Coddington, N. Levinson, Theory of ordinary differential
equations, McGraw Hill 1955 (in particular, Chap. 17).
[8] M. Gromov, Pseudo-holomorphic curves in symplectic manifolds, Invent.
Math. 113 (1985), 307-347.
[9] M. Gromov, Partial differential relations, Ergebnisse der Mathematik
und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge, Bd. 9, Springer, Berlin Heidelberg New
York, 1986.
[10] R. S. Hamilton, The inverse function theorem of Nash and Moser,
Bull. Am. Math. Soc. 7 (1982), 65-222.
[11] G. A.Hedlung, Geodesics on a two-dimensional Riemannian manifold
with periodic coefficients, Ann. Math. 33 (1932), 719-739.
[12] M. R. Herman, Sur la conjugaison differentiable des diffeomorphismes
du cercle a des rotations, Publ. Math. I.H.E.S. 49 (1979), 5-233.
[13] K.Kodaira, On the structure of compact complex analytic surfaces, I.
Am. J. Math. 86 (1964), 751-798.
[14] K.Kodaira, Complex manifolds and deformation of complex structures,
Springer, Berlin Heidelberg New York, 1986.
[15] A. N. Kolmogorov, Theorie generate des systemes dynamiques et me-
canique classique, Proc. Int. Congr. of Math. 1954, Amsterdam, 1957, 315-
333 (Russian).
[16] S. Lang, Introduction to complex hyperbolic spaces, Springer, Berlin
Heidelberg New York 1987 (in particular, Chap. III).
[17] O.Lehto, Univalent functions and Teichmuller spaces, Graduate Texts
in Mathematics 109, Springer, Berlin Heidelberg New York 1987 (in
particular, 25-26).
436 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
[18] J. Moser, On invariant curves of area-preserving mappings of an an-
nulus, Nachr. Akad. Wiss., Gottingen, math. phys. Kl., 1962, 1-20.
[19] J. Moser, A rapidly convergent iteration method and nonlinear
differential equations, I, Annali Scuola Norm. Sup. Pisa, ser. Ill, 20,
1966, 265-315; II, 1966, 499-535.
[20] J. Moser, Minimal solutions of variational problems on a torus, Ann.
Inst. H. Poincare, Annalyse nonlineare 3 (1986), 229-272.
[21] J. Moser, A stability theorem for minimal foliatios on the torus,
Ergo-dic Theory and Dynamical Systems 8*, 1988, 251-281.
[22] J. Moser, On commuting circle mappings and simultaneous Diophanti-ne
